怎样用一次干预分辨图案机制

先规定要分辨的两个答案

候选一是上一章的主动皮层模型，未知参数只有收缩系数 $\zeta$ 。候选二关闭主动应力，只保留相同的扩散和周转。两者都知道完整初始密度及其他参数。干预只乘在主动应力上，不直接改变扩散、周转或密度。

在这个假设下，被动候选的预测很明确：有干预与无干预的密度演化完全相同，配对差值为零。主动候选则会改变流动，给出随位置和时间变化的差值。真正实验若同时损伤材料或改变周转，必须把这些作用也纳入候选。

对每个位置 $x_j$ 和时间 $t_r$ ，观测量取抑制组减对照组的密度。这里的两组由同一初始场启动，避免把本来不同的峰误当成干预效果。

y_{jr}=c_{\mathrm{inhibited}}(x_j,t_r)-c_{\mathrm{control}}(x_j,t_r)+\epsilon_{jr}

噪声直接加在配对密度差上。本例不是两次分别带噪观测再相减；若采用后者，差值噪声方差也要重新计算。

把空间差别和观测噪声写清楚

每个阻力条件都从默认余弦密度出发，另加振幅为 $0.04$ 的正弦起伏，在各自阻力下预演化四个时间单位。两个条件各有一份保存初态；同一条件下的所有候选共享它，材料参数也保持相同。

每个条件在 $0.25,0.5,0.75,1$ 四个时刻、16 个等距位置取样，共 64 个数。噪声 $\epsilon_{jr}$ 独立、零均值、服从标准差 $\sigma$ 的正态分布：误差多数靠近零，正负两侧对称，较大的偏差更少见。没有加入过程噪声或未知的空间阻力。

先在阻力 $\xi=1$ 的条件，用最小二乘从 $\zeta=1,1.25,\ldots,5$ 中选出误差最小者。然后冻结这个参数，预测阻力 $\xi=2$ 的另一个条件。后者就是留出条件：它的观测没有参与选择参数。

已知初态的空间起伏、未知材料的空间异质性和随机噪声是三件不同的事。本例只处理第一种与观测噪声。要研究未知异质性，应另外规定它的空间尺度和幅度，再估计这些参数，或把它们的不同可能性加权纳入预测。

看留出误差怎样随噪声上升

下面的数来自保存记录中的第一个噪声种子 510210，取三位有效数字。均方根误差把每个位置与时刻的预测差平方、求平均、再开方，单位仍是无量纲密度差。生成数据的真实收缩系数是三。

噪声较小时，主动候选恢复了真实参数，并在留出条件中给出更小误差。噪声加大后，估计参数偏离，两个候选的误差也更接近。此时这份记录对收缩系数的限制已经变弱。

每个噪声水平另有八个固定种子。标准差为 0.02 和 0.08 时，这八次的主动留出误差都更小；标准差为 0.3 时只有七次。八个例子展示了波动，不能据此报告一个普遍的识别成功率。

\operatorname{RMSE}=\sqrt{\frac1{64}\sum_{j,r}\bigl(y_{jr}-\widehat y_{jr}\bigr)^2}

留出误差在参数冻结后计算。不能看到留出结果后再调参，却继续把它叫作独立预测。

同模型生成的合成观测；种子 510210，留出阻力为二。完整噪声样本、初态和预测可下载重算。
噪声 $\sigma$	校准 $\widehat\zeta$	主动留出误差	被动留出误差
$0.02$	$3$	$0.0215$	$0.0741$
$0.08$	$2.75$	$0.0870$	$0.119$
$0.3$	$1.75$	$0.328$	$0.343$

把这个练习带到真实材料前

数据来自主动模型，又用同一家族去拟合，模型形式天然占了优势。这种同模型合成练习适合检查采样、拟合和留出流程，也能量出指定噪声如何影响结果；它没有独立验证生物机制。

走向真实组织时，先测干预是否只影响预定过程，再检查初态、边界与成像误差。增加候选时，要让它们共享同一套观测定义。一个响应能排除某个被动候选，也可能仍同时兼容几个不同的主动调控网络。

这也给前沿阅读一个方向：优先寻找同时记录浓度、流速与干预的工作。密度变化告诉你材料在哪里，流速帮助分开搬运与反应，留出条件则考验解释能否走出拟合用过的那一帧。

阅读来源：M. Nishikawa

完整例题

主动误差更小，应该写出多强的结论

取噪声标准差 $0.08$ 的首个记录。校准得到 $\widehat\zeta=2.75$ ，留出均方根误差约 $0.0870$ ，被动候选约 $0.119$ 。可以说：在这套已知初态、指定干预与噪声的合成比较里，主动候选的留出预测更准。

不能把这个误差差值写成组织里某个分子通路已经被确认，也不能把估计参数直接配上真实单位。若同一比较在更强噪声下反转，先检查观测是否有足够信息，再考虑增加采样时刻、重复记录或换一个更有区分力的干预。

下载本课程计算记录

合成干预观测与预测（JSON）

把推理带进实验

设计一个没有参与调参的比较

先固定一次初态与干预位置，记录抑制组和对照组的差值。
只用一个阻力条件选择收缩系数，随后冻结参数。
切换阻力预设后重新设回拟合出的收缩系数，再比较响应。精确的留出复算使用下载记录与配套脚本；把参数误差、观测噪声和模型形式差别分别列出。

练习与解释性答案

为什么不能用同一份留出记录反复挑选参数，再报告它的预测误差？
展开解释
挑参数已经使用了其中的信息，它不再是未见过的条件。应保留新的条件或记录用于最后一次评价，并说明选择步骤。
被动候选在这个干预下预测零响应，是否说明所有被动物理机制都只能给出零响应？
展开解释
不是。零响应来自本例“只改变主动应力”的干预定义。若干预同时改变扩散、材料连接或周转，被动候选也可能响应，必须重新建模。
同模型生成与拟合的数据，哪一步还能用独立方法检查？
展开解释
可用解析守恒关系、被动极限、线性谱和不同求解器检查数值计算；要检验生物模型本身，还需要独立观测、干预与预测条件。

课程来源与计算范围

推导、示意图与数值例由本课程编写。下面分别注明采用的方程、教学扩展和实际重算的已发表例子。交互场与带噪观测均来自所列模型。

A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis (1952), Philosophical Transactions B 237, 37–72
核读第 4 节第 42–43 页的两细胞数值例与第 6 节的模态分析。本课程复算第 4 节早期线性增长；没有复现原文图，也没有把 Schnakenberg 实验称为原文模型。
J. Schnakenberg, Simple Chemical Reaction Systems with Limit Cycle Behaviour (1979), Journal of Theoretical Biology 81, 389–400
原始反应模型的文献入口。这里明确写出采用的无量纲、不可逆教学形式，稳态、Jacobian 与数值参数均在课程中重新推导；没有声称使用生物标定参数。
D. Barkley, A Model for Fast Computer Simulation of Waves in Excitable Media (1991), Physica D 49, 61–70
核读第 2 节的两变量方程与文末模型适用性说明。本实验使用所列连续方程及自己的离散求解器，初态和预设由本课程设计，没有复现原文图像或转动频率。
E. J. Crampin, E. A. Gaffney and P. K. Maini, Reaction and Diffusion on Growing Domains (1999), Bulletin of Mathematical Biology 61, 1093–1120
核读第 3 节方程 9–20 的守恒、输运与域增长推导。原文主要讨论一维生长；本课程另推导二维均匀膨胀方域的稀释项，作为教学扩展，不复现原文倍频图。
M. Nishikawa, S. R. Naganathan, F. Jülicher and S. W. Grill, Controlling Contractile Instabilities in the Actomyosin Cortex (2017), eLife 6, e19595
核读 Appendix 方程 4–9 的密度通量、活性黏性应力、饱和函数与力平衡。这里把原文两组分调控简化成单密度与线性周转，另加局部应力抑制；没有拟合真实胚胎数据或复现原文图 2。原论文采用 CC BY 许可。
A. L. Krause, M. A. Ellis and R. A. Van Gorder, Influence of Curvature, Growth, and Anisotropy on the Evolution of Turing Patterns on Growing Manifolds (online 2018; issue 2019)
核读方程 4–6 的移动域守恒、14–15 的材料坐标及 44–45 的 Schnakenberg 反应与 Jacobian。这里的周期方域和参数是教学选择，没有复现原文椭圆几何或图 1–4。
L. Giomi, Geometry and Topology of Turbulence in Active Nematics, arXiv:1409.1555v2 (2015); Physical Review X 5, 031003
只作前沿分支阅读：二维不可压缩活性向列流、涡旋统计与拓扑缺陷。它需要取向场和流体方程，归入 FR22；这里的一维标量皮层模型没有复现这些结果。