FR33 · 声流控

声辐射力：驻波里的颗粒捕获

驻波声场怎样把颗粒推成一条线？什么时候被搅动的液体反而占上风？ 驻波声场会把小颗粒推向对它来说时间平均能量最低的平面。聚苯乙烯微珠和多数细胞比水更密、更硬，会聚到压力节点；更软、更轻的颗粒则聚到波腹。这个推力随颗粒体积增长。微通道里的声波还会搅动液体，在 2 MHz 下，直径小于约 1.4 微米的聚苯乙烯微珠会跟着这些涡流转，排不成线。

377 µm 宽的水通道里有一道 2 MHz 驻波，微珠被赶到压力节点。把一颗拖出来，看它怎样回去。

声学对比因子 $0.165$

回到节点的时间 $0.466\,\mathrm{s}$

辐射漂移与声流漂移之比 $12.8$

声流开始占优的直径 $1.4\,\mu\mathrm{m}$

选颗粒，定声场

颗粒材料

颗粒直径

5

2a\;(\mu\mathrm{m})

声能密度

20

E_{\mathrm{ac}}\;(\mathrm{J/m^3})

通道内的半波长个数

1

n

计入声流

把橙色探针颗粒拖到通道里任意位置，再松手。

颗粒初始分布种子

初始颗粒云的随机种子

3301

模型、单位与来源

$E_{\mathrm{ac}}=\frac{\kappa_0p_a^2}{4},\quad u_0=\frac{4E_{\mathrm{ac}}}{\rho_0c_0},\quad f=\frac{nc_0}{2w}$

颗粒以过阻尼方式运动，速度等于辐射漂移加声流速度。声流取 Rayleigh 平行平板解，在边界层之外、波长远大于通道高度时成立；未计侧壁和发热。对比因子计入了黏性偶极项，它相对无黏值的变化列在补充数值里。

Barnkob et al. (2012), Eqs. 1–14, Table II · Settnes & Bruus (2012), Eqs. 48b–e, Table I

一步步推导声辐射力

模型假设

模型是一条宽 377 µm、高 157 µm 的充水通道的二维截面，沿宽度方向在半波共振下驱动。颗粒受理想驻波的 Gor’kov 辐射力和 Stokes 阻力；可以打开平行平板之间由边界层驱动的 Rayleigh 声流。颗粒之间无相互作用。不含近壁阻力修正、发热、侧壁声流、重力、布朗运动和完整的三维共振模式。水和聚苯乙烯的参数取自 Barnkob 等 (2012)，派热克斯玻璃和细胞取自 Settnes 与 Bruus (2012)，软颗粒为假设材料。所有运动均为模型模拟，不是实测数据。

通道内的辐射力与势

松手后探针的回复

按颗粒尺寸比较辐射力与声流

更多数值与检验方法

驱动频率: $0$
声压幅值: $0$
声流速度尺度 u₀: $0$
最大辐射漂移速度: $0$
中平面声流速度: $0$
单极系数 f₁: $0$
偶极系数 f₂: $0$
黏性对对比因子的修正: $0$
黏性边界层 δ: $0$
稳定面处的捕获刚度: $0$
颗粒惯性时间: $0$
探针释放位置: $0$
探针回到的稳定面: $0$
模拟回复与精确解的最大偏差: $0$

白点是用中心差分从场样本求出的 Gor’kov 势斜率的负值，实线是解析的力。精确回复曲线是漂移方程的解析解，不经过数值积分器。在中平面上，声流附加的漂移与辐射漂移形状相同，所以那里也有精确曲线。

先抓重点

核心问题: 驻波声场怎样把颗粒推成一条线？什么时候被搅动的液体反而占上风？
一句话直觉: 声场压力与速度的时间平均给每个颗粒定义了一个势，势的斜率就是辐射力；力的方向取决于颗粒比水更密、更硬，还是相反。辐射力随颗粒体积增长，声流拖着颗粒走的速度却与尺寸无关，所以小颗粒会转而跟着声流涡走。

核心数学模型

Gor’kov 势

U=\frac{4\pi a^3}{3}\left[f_1\frac{\kappa_0}{2}\langle p^2\rangle-f_2\frac{3\rho_0}{4}\langle v^2\rangle\right]

适用于远小于波长的球。尖括号表示压力平方与速度平方在一个声周期内的平均。

半波声场中的辐射力

F=-\frac{\partial U}{\partial y}=4\pi\Phi k a^3E_{\mathrm{ac}}\sin(2ky)

式中 $y$ 从左侧壁量起，那里压力最大； $k$ 是波数。

声学对比因子

\Phi=\frac{f_1}{3}+\frac{f_2}{2},\qquad f_1=1-\frac{\kappa_p}{\kappa_0},\qquad f_2=\frac{2(\rho_p-\rho_0)}{2\rho_p+\rho_0}

对比因子为正，颗粒去压力节点；为负，颗粒去压力波腹。水中的聚苯乙烯约为 0.17。这里的偶极项未计黏性；Lab 计入了颗粒周围很薄的黏性层，它对又小又重的颗粒影响明显。

漂移速度与回复时间

u_{\mathrm{rad}}=\frac{F}{6\pi\eta a}=\frac{2\Phi k a^2E_{\mathrm{ac}}}{3\eta}\sin(2ky),\qquad \tau=\frac{3\eta}{4\Phi k^2a^2E_{\mathrm{ac}}}

惯性在一微秒内就弛豫掉，因此微珠以 Stokes 阻力与辐射力平衡时的速度运动。靠近节点时，回复过程按时间常数 τ 指数衰减。

声流在哪里接管

2a_c=2\delta\sqrt{\frac{3\psi}{\Phi}},\qquad \delta=\sqrt{\frac{2\eta}{\rho_0\omega}},\qquad \psi=\frac{3}{16}

式中 $\delta$ 是黏性边界层厚度， $\psi$ 是平行平板间中平面上的声流系数。2 MHz 下聚苯乙烯的临界直径约为 1.4 µm。

常见难点

被推向最“安静”的地方

容易误解声音把颗粒从最响的地方推开，所以颗粒都停在压力节点。

正确理解颗粒停在哪里，取决于它与液体的差别。比水更软、更轻的颗粒对比因子为负，会聚到压力波腹，也就是这条通道的侧壁。

动手实验

01
看微珠排成线
从“微珠排到节点上”开始。
你会看到： 大约一秒的模型时间内，散开的微珠聚成中间的一条竖线，那里的压力颜色始终很淡。
02
拉出一颗微珠
把橙色探针拖到靠近侧壁处，再松手。
你会看到： 探针沿回复曲线图里的精确曲线返回：靠近侧壁和节点时慢，离壁四分之一处最快。
03
把颗粒变小
选择“小颗粒随涡流转圈”，或把直径调到 1.4 µm 以下。
你会看到： 颗粒不再排成线，而是在四个涡里转圈，因为此时声流带动它们的速度超过了辐射力。

声辐射力：驻波里的颗粒捕获

驻波是颗粒的地形

核心数学模型

Gor’kov 势

半波声场中的辐射力

声学对比因子

漂移速度与回复时间

声流在哪里接管

常见难点

被推向最“安静”的地方

动手实验

看微珠排成线

拉出一颗微珠

把颗粒变小

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