声辐射力怎样把微珠推到驻波节点上

平均为零的声场，怎么留下一个力

一阶声场 $p_1$、$\mathbf v_1$ 在一个周期内的平均都是零。但颗粒的密度和压缩率与水不同，会把入射波散射开；入射场与散射场的乘积是二阶量，它的时间平均不为零，这就是声辐射力。

当颗粒半径远小于波长（$ka\ll1$）时，这个力可以写成一个势的负梯度。势里有两项：颗粒比水更难压缩时，它在声压起伏大的地方能量更高（单极项，系数 $f_1$）；颗粒比水重时，它在液体来回晃得厉害的地方能量更低（偶极项，系数 $f_2$）。

来源：M. Settnes and H. Bruus · R. Barnkob

一维驻波中的力和对比因子

把第三章的驻波代入势，两项合并成一个正弦形状的力。所有材料性质都收进一个数：声学对比因子 $\Phi$。它的符号决定颗粒去哪里。

$\Phi>0$ 的颗粒被推向声压节点，聚苯乙烯微珠 $\Phi=0.165$，派热克斯玻璃珠约 0.54，按 Settnes 与 Bruus 表中参数估算的细胞约 0.068。$\Phi<0$ 的颗粒（比水更易压缩、或比水轻得多）被推向声压波腹；对 $n=1$ 的通道，波腹就在两侧壁上。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

稳定平衡点、刚度与回复时间

力为零的地方在 $\sin(2ky)=0$。只有力的斜率为负的零点才是稳定的：颗粒偏右时被往左推。对 $\Phi>0$，这要求 $\cos(2ky)<0$，正好是声压节点；同一位置对 $\Phi<0$ 的颗粒是不稳定的。在稳定点附近展开，力像弹簧一样与偏离成正比。

微珠在水里极小、极慢，惯性在几十微秒内就消失，运动是过阻尼的：辐射力与 Stokes 阻力 $6\pi\eta a$ 平衡。在中平面上这个方程能精确解出来，不需要数值积分。实验把它当作独立的参照，检验数值积分器松手后的回复曲线，两者相差不到 $4\times10^{-13}\,\mathrm{m}$。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

完整例题：5 µm 聚苯乙烯微珠

实验默认：通道 $w=377\,\mu\mathrm{m}$、$n=1$，$k=\pi/w=8.33\times10^3\,\mathrm{m^{-1}}$；$E_{\mathrm{ac}}=20\,\mathrm{J/m^3}$；直径 5 µm 的聚苯乙烯珠，$\Phi=0.165$；水的粘度 $\eta=0.890\,\mathrm{mPa\,s}$。

最大辐射力 $4\pi\Phi ka^3E_{\mathrm{ac}}=5.40\,\mathrm{pN}$，出现在节点与侧壁的正中间。除以 Stokes 阻力系数 $6\pi\eta a=4.19\times10^{-8}\,\mathrm{N\,s/m}$，最大漂移速度 129 µm/s。

稳定点在通道正中。刚度 $\kappa_{\mathrm{trap}}=9.00\times10^{-8}\,\mathrm{N/m}$，回复时间常数 $\tau=0.466\,\mathrm{s}$，与实验读数相同。从 $y_0=w/8$ 松手，由漂移方程的解析解，回到距节点 10 µm 以内要 1.45 s（计入声流）。

势阱深度 $F_{\max}/k=6.5\times10^{-16}\,\mathrm{J}$，约为室温热能的 $1.6\times10^5$ 倍；热运动让微珠在节点附近晃动的均方根幅度约 0.21 µm。对这么大的微珠，布朗运动可以忽略；对亚微米颗粒就不行了，实验对此不建模。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus