水中超声的声压、质点速度和声阻抗

一对一起传播的小扰动

静止的水有压强 $p_0$ 和密度 $\rho_0$ 。声波经过时，压强多出一个小量 $p_1$ ，每一小团水获得一个小速度 $\mathbf v_1$ 。只要这两个量足够小，乘积项可以丢掉，牛顿第二定律和质量守恒就变成两条线性方程。

第一条说压强差推动水加速；第二条说水往哪里挤，哪里的压强就升高。比例系数是液体的压缩率 $\kappa_0$ ：压缩率越小，挤进同样多的水，压强升得越高。

把两条方程合起来消去速度，就得到波动方程。声速只由密度和压缩率决定。水在 25 °C 时取 $\rho_0=997\,\mathrm{kg/m^3}$ 、 $c_0=1497\,\mathrm{m/s}$ ，对应 $\kappa_0=448\,\mathrm{TPa^{-1}}$ 。

\rho_0\frac{\partial \mathbf v_1}{\partial t}=-\nabla p_1,\qquad \kappa_0\frac{\partial p_1}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf v_1

左式是线性化的运动方程，右式由连续性方程和

p_1=c_0^2\rho_1

合并而来。

\nabla^2 p_1=\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2},\qquad c_0=\frac{1}{\sqrt{\rho_0\kappa_0}}

对时间再求一次导，把速度消去，就得到压强满足的波动方程。

来源：J. A. Jensen · M. Settnes and H. Bruus

声阻抗：介质顶回来有多硬

看一列沿 $x$ 方向前进的平面波 $p_1=p_a\cos(kx-\omega t)$ 。代入运动方程可得，质点速度和压强同相，二者之比是一个常数。

这个常数叫特征声阻抗 $Z=\rho_0c_0$ ，单位常写作 Rayl（等于 $\mathrm{Pa\,s/m}$ ）。水约为 1.49 MRayl，聚苯乙烯约 2.47 MRayl，派热克斯玻璃约 12.7 MRayl。同样大的声压，在阻抗大的材料里只能推出更小的速度。

声阻抗还决定声波在两种材料交界处怎样分配，这是下一章的主题。超声成像能看见组织边界，靠的就是边界两侧阻抗不同。

v_1=\frac{p_1}{Z},\qquad Z=\rho_0c_0

只对单向传播的平面波成立。反向传播的波取

v_1=-p_1/Z

；两列波叠加成驻波后，压强和速度在时间上错开四分之一周期。

来源：J. A. Jensen · R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

声波带走多少能量

压强乘速度就是单位面积上做功的功率。对平面波求时间平均，得到声强 $I$ 。声强除以声速，就是单位体积里平均存着的声能。

驻波里的情形不同：两列反向的波叠加成 $p_1=p_a\cos(ky)\cos(\omega t)$ ，能量在原地来回换手，不向任何方向净传。对整个驻波取平均，声能密度为 $E_{\mathrm{ac}}=\kappa_0p_a^2/4$ ，正好是同样振幅行波的一半。第五、六章的辐射力和声流都用这个量来标定声场强弱。

I=\langle p_1v_1\rangle=\frac{p_a^2}{2Z},\qquad \frac{I}{c_0}=\frac{\kappa_0p_a^2}{2},\qquad E_{\mathrm{ac}}=\frac{\kappa_0p_a^2}{4}

尖括号表示对一个周期取平均。最后一式是驻波在空间上的平均声能密度，

p_a

是驻波声压的峰值。

硬侧壁通道中的半波共振。青色：声压振幅，侧壁处最大、正中为零。琥珀色：速度振幅，侧壁处为零、正中最大。

\Phi>0

的微珠聚在声压节点上。原创示意图。

来源：R. Barnkob · J. A. Jensen

完整例题：5 MHz、100 kPa 的超声在水里

先算波长： $\lambda=c_0/f=1497/(5\times10^6)\,\mathrm{m}=0.299\,\mathrm{mm}$ 。水的声阻抗 $Z=997\times1497\,\mathrm{Rayl}=1.49\,\mathrm{MRayl}$ 。

声压振幅取 $p_a=100\,\mathrm{kPa}$ ，约等于一个大气压。质点速度振幅 $v_a=p_a/Z=0.0670\,\mathrm{m/s}$ ，只有声速的 $4.5\times10^{-5}$ 。位移振幅再除以角频率： $\xi_a=v_a/\omega=2.13\,\mathrm{nm}$ 。波以每秒一千五百米前进，水团却只挪了几纳米，这正是线性近似成立的原因。

声强 $I=p_a^2/(2Z)=3.35\times10^3\,\mathrm{W/m^2}$ ，即每平方厘米 0.335 W；行波的能量密度 $I/c_0=2.24\,\mathrm{J/m^3}$ 。如果同样的峰值声压出现在驻波里，平均声能密度是 $1.12\,\mathrm{J/m^3}$ 。第五章的通道实验取 $E_{\mathrm{ac}}=20\,\mathrm{J/m^3}$ ，对应驻波峰值声压约 423 kPa。

来源：R. Barnkob · J. A. Jensen

到实验里试一试

看一个脉冲以声速走过水槽

打开“三根细丝和一块板”预设，看水槽里的脉冲从阵列出发，碰到细丝和板后反射回来。
中间那根细丝在 17 mm 深处。预测回波到达时间： $2\times17\,\mathrm{mm}/1497\,\mathrm{m/s}$ 。再在“阵元记录下的信号”图里找到它的回波，对照时间轴。
把板材换成派热克斯玻璃，看板面回波变亮多少。下一章会解释原因。

把声能密度换成声压

在声镊实验里把声能密度调到 $5\,\mathrm{J/m^3}$ 和 $80\,\mathrm{J/m^3}$ 。用 $p_a=\sqrt{4E_{\mathrm{ac}}/\kappa_0}$ 算出两种情况下的驻波峰值声压。
比较两种情况下微珠聚到节点所需的时间。能量密度变成十六倍时，回到节点的时间怎样变？

练习与解答

同样 $100\,\mathrm{kPa}$ 的平面波分别在水和派热克斯玻璃里传播，质点速度振幅各是多少？
展开解答
水里 $v_a=10^5/(1.49\times10^6)=0.0670\,\mathrm{m/s}$ 。玻璃的阻抗为 $2230\times5674\,\mathrm{Rayl}=12.7\,\mathrm{MRayl}$ ，速度只有 $0.0079\,\mathrm{m/s}$ ，小了约 8.5 倍。
声压振幅加倍，声强和驻波的平均声能密度各变为原来的几倍？
展开解答
两者都与 $p_a^2$ 成正比，所以都变为 4 倍。质点速度和位移只与 $p_a$ 成正比，只变为 2 倍。
为什么说水里 $100\,\mathrm{kPa}$ 的声波仍然是“小振幅”？用一个无量纲数说明。
展开解答
比较质点速度和声速： $v_a/c_0=p_a/(\rho_0c_0^2)=4.5\times10^{-5}$ 。丢掉的非线性项相对线性项也是这个量级，所以线性方程在这里足够准确。非线性效应随振幅和传播距离增大，本课程的模型不包含这种积累。

来源与复算范围

R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)
2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。
M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)
2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。
J. A. Jensen, Notes for the International Summer School on Advanced Ultrasound Imaging, Technical University of Denmark (21 May 2024)
第 2 章式 2.45—2.51（线性声学方程与波动方程）。第 3 章式 3.8—3.11（线孔径、第一零点、第一旁瓣）、式 3.15—3.17（栅瓣）与式 3.24（F 数）。第 5 章式 5.3—5.4（脉冲与往返延迟）。声阻抗反射系数不取自这份讲义。