受声波驱动的气泡怎样从线性共振走向非线性振荡

气泡是一个弹簧加一团水

设气泡始终保持球形，半径为 $R(t)$ 。泡壁一动，周围的水就要跟着径向流动，水的动能集中在泡壁附近，相当于振子的质量。泡内气体被压缩时压强升高，相当于弹簧；表面张力和水的粘性分别贡献一个额外的压强和阻尼。

把这些写到一起就是 Rayleigh–Plesset 方程。左边是水的惯性，右边是泡内气体压强、远处的水压（含驱动声压）、表面张力和粘性应力。气体按多方过程处理，指数 $k=1$ 为等温， $k=1.4$ 为绝热空气。

\rho_L\left(R\ddot R+\frac32\dot R^2\right)=p_{G0}\left(\frac{R_0}{R}\right)^{3k}-\big(p_\infty(t)-p_V\big)-\frac{2S}{R}-\frac{4\mu_E\dot R}{R}

Brennen 式 2.27。

p_{G0}=\bar p_\infty-p_V+2S/R_0

是静止时泡内的气体压强，

p_\infty(t)=\bar p_\infty-p_a\sin\omega t

，

\mu_E

是有效粘度。

两个驱动周期内的气泡半径，示意形状。虚线：线性理论，振幅

0.27R_0

的正弦。实线：强驱动下不对称的摆动。实验默认驱动下，模拟半径在

0.46R_0

到

1.81R_0

之间。

来源：C. E. Brennen · R. Barnkob

小振幅：固有频率与阻尼

令 $R=R_0(1+\varepsilon)$ ，只保留 $\varepsilon$ 的一次项，方程就变成受迫阻尼谐振子。固有频率由气体刚度和表面张力共同决定；去掉表面张力，就退回到 Minnaert 频率。

阻尼来自两处：水的粘性，以及气泡向外辐射声波带走的能量。后者在线性方程里等效为一个“声学粘度” $\mu_A$ 。Brennen 在线版式 4.14 把它印成 $R_E^2$ ，量纲不对；按量纲和辐射功率推算，应为 $R_0^3$ 。实验用后者，并用式 3.10 的辐射声功率独立验算，二者之比为 1.006。

Brennen 指出，对大多数实际气泡，热阻尼才是最大的阻尼来源。实验不含热阻尼，所以它的共振峰比真实气泡更高、更尖。

\omega_N^2=\frac{1}{\rho_LR_0^2}\left[3k(\bar p_\infty-p_V)+2(3k-1)\frac{S}{R_0}\right]

Brennen 式 4.8。

\ddot\varepsilon+\frac{4\nu_E}{R_0^2}\dot\varepsilon+\omega_N^2\varepsilon=\frac{p_a\sin\omega t}{\rho_LR_0^2},\qquad \mu_E=\mu_L+\frac{\rho_L\omega^2R_0^3}{4c_L}

Brennen 第 4.2 与 4.4 节的线性化形式，

\nu_E=\mu_E/\rho_L

。右式中的

R_0^3

是按量纲修正后的声辐射项。

来源：C. E. Brennen · R. Barnkob

强驱动：不对称、左倾和新的频率

气体压强随 $R^{-3k}$ 变化：压缩时刚度急剧变大，膨胀时却越来越软。强驱动下气泡膨胀得多、压缩得少，半径曲线上下不对称。

平均来看弹簧变软了，共振频率随驱动增大而降低，共振峰向低频倾斜。半径曲线不再是纯正弦，泡壁加速度通过式 3.10 直接变成向外辐射的声压，于是辐射声里出现驱动频率的整数倍（谐波）；驱动在两倍固有频率附近时，响应每两个周期才重复一次，辐射声里出现驱动频率的一半（次谐波）。Brennen 第 4.5 节总结的文献结果正是这几类现象。

这些都是一个孤立球形气泡的行为。真实的空化通常是许多气泡成团出现，彼此通过声场和流动相互影响，还会变形、碎裂、溶入或析出气体。单泡的半径曲线不是空化云，实验也不预测空化阈值、侵蚀或任何临床效果。成团空化有专门的研究，例如 Maeda 与 Maxwell 用整团气泡的相干动力学模型做状态估计，在脉冲超声中反馈调节脉冲重复频率；本课程只读了该文摘要。

p_a(r,t)=\frac{\rho_L}{4\pi r}\frac{d^2V}{dt^2}=\frac{\rho_L}{r}\left(R^2\ddot R+2R\dot R^2\right)

Brennen 式 3.10，

V

是气泡体积，右边在推迟时间

t-r/c_L

取值。

来源：C. E. Brennen · K. Maeda and A. D. Maxwell

完整例题：3 µm 的空气泡

取 Brennen 书中 300 K 水的数据： $\rho_L=996.3\,\mathrm{kg/m^3}$ 、 $S=0.0717\,\mathrm{N/m}$ 、 $\mu_L=0.863\,\mathrm{mPa\,s}$ ，假设 $\bar p_\infty-p_V=100\,\mathrm{kPa}$ ， $k=1.4$ ；辐射项用 Barnkob 等人表 II 的声速 $c_L=1497\,\mathrm{m/s}$ 。表面张力让泡内气压比外面高 47.8 kPa， $p_{G0}=147.8\,\mathrm{kPa}$ 。

由式 4.8， $f_N=1.272\,\mathrm{MHz}$ ；不计表面张力只有 1.089 MHz，低 14%。在固有频率处 $\mu_A=0.287\,\mathrm{mPa\,s}$ ，约为水粘度的三分之一，品质因数 $Q=\omega_NR_0^2/(4\nu_E)\approx15.6$ 。

弱驱动：1.25 MHz、2 kPa，线性理论给出 $|\varepsilon|=0.0488$ ；数值积分得到半径在 $1-0.0490$ 到 $1+0.0502$ 倍之间，已经能看到轻微的不对称。把驱动降到 0.5 kPa、扫 28 个频率，模拟与线性理论处处相差不到 1.06%。

强驱动：1.1 MHz（ $0.865\,\omega_N$ ）、40 kPa。线性理论预测振幅 $0.271R_0$ ，模拟却在 $0.460R_0$ 到 $1.81R_0$ 之间摆动。扫频时，最大膨胀出现在约 $0.83\,\omega_N$ ，而线性曲线的峰在固有频率处。

一个参照：同样大小的空腔若在 100 kPa 下塌缩，Rayleigh 塌缩时间为 $0.915R_0\sqrt{\rho_L/\Delta p}=0.274\,\mu\mathrm{s}$ ，约为 1.272 MHz 周期 0.786 µs 的三分之一。实验的积分器复现了系数 0.9146814。

来源：C. E. Brennen · R. Barnkob

到实验里试一试

从线性共振走到非线性

选“弱驱动：线性共振”，看黄色模拟半径与青色虚线的线性理论几乎重合。
回到默认的“强驱动：共振峰左倾”，在扫频图里找出峰的位置，与线性曲线比较。
选“半共振频率激出倍频”和“两倍共振频率：半频声”，在频谱图里分别找出 $2f$ 谱线和 $f/2$ 谱线。
拖动泡壁把静止半径调到 10 µm，读出驱动频率与固有频率之比怎样变化。

练习与解答

静止半径 10 µm 的空气泡（ $k=1.4$ ）固有频率是多少？表面张力的作用比 3 µm 时大还是小？
展开解答
由式 4.8 得 $f_N=0.344\,\mathrm{MHz}$ ，不计表面张力为 0.327 MHz，只高 5%；3 µm 时高 17%。表面张力项正比于 $1/R_0$ ，气泡越小越重要。
为什么强驱动下气泡膨胀得比压缩得多？
展开解答
气体压强按 $(R_0/R)^{3k}$ 变化。压缩时它增长得比线性快得多，像一根越压越硬的弹簧；膨胀时恢复力变弱。同样大小的驱动，向外能走得更远。
有人把实验里的半径曲线称为“空化云的动力学”。这样说错在哪里？
展开解答
实验只有一个始终保持球形的气泡，周围是无限大的水。它不含气泡之间的相互作用、形状失稳、碎裂、气体扩散和热效应，而这些正是成团空化的关键。它描述单个气泡在给定驱动下的振荡；空化云还要加上气泡之间的相互作用。

来源与复算范围

R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)
2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。
C. E. Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics, Oxford University Press (1995), online edition
第 2 章：式 2.27（Rayleigh–Plesset 方程）、式 2.29（能量积分）、式 2.40（Rayleigh 塌缩时间）。第 3 章第 3.8 节：式 3.10（辐射声压）。第 4 章：式 4.1—4.8（线性响应与固有频率），第 4.4 节与式 4.13—4.14（阻尼；式 4.14 印作半径平方，按量纲改为立方），第 4.5 节（非线性效应，只读正文），第 4.2 节（300 K 水的物性）。书中引自 Lauterborn 和 Flynn 的图只看过，没有从图中读取数值。
K. Maeda and A. D. Maxwell, Controlling the dynamics of cloud cavitation bubbles through acoustic feedback, arXiv:2003.05044v1; Physical Review Applied 15, 034033 (2021)
只读了摘要（2020 年 3 月 11 日 v1）：用模型估计气泡云的相干动力学，在反馈回路中设定脉冲超声的重复频率。课程只把它作为空化云研究的例子引用，没有取用其中的公式或数值。