FR33 · 声场中的气泡

受驱气泡振荡：线性共振与非线性半径

声场里的气泡什么时候不再像一个简单的共振子？ 水中的气泡像弹簧上的质量块：气体是弹簧，周围的水是质量。3 微米的空气泡在约 1.3 MHz 共振。轻推时它遵循线性共振理论；推得狠了，它膨胀多于收缩，共振移向低频，并发出谐波，在两倍固有频率附近还会发出驱动频率一半的声音。

在共振附近驱动一个 3 µm 气泡，把半径和线性理论对比，扫一遍频率，看谐波和半频声怎样出现。

驱动频率与固有频率之比 $0.865$

最大半径与静止半径之比 $1.81$

最小半径与静止半径之比 $0.46$

1 mm 处发出声压的峰值 $5.09\,\mathrm{kPa}$

选气泡，定驱动声波

气泡静止半径

3

R_0\;(\mu\mathrm{m})

驱动频率

1.1

f\;(\mathrm{MHz})

驱动声压幅值

40

p_a\;(\mathrm{kPa})

拖动气泡边缘可改变大小；青色虚线圈是线性理论的预测。

气体行为

气体的多方指数

模型、单位与来源

$\mu_E=\mu_L+\frac{\rho\,\omega^2R_0^3}{4c}$

辐射损失折算成附加黏性，按驱动频率和静止半径计算（Brennen 第 4.4 节；网络版正文印作半径平方，但只有立方才具有黏度的量纲）。约 300 K 的水：密度 996.3 kg/m³，表面张力 0.0717 N/m，黏度 0.863 mPa·s，声速 1497 m/s；平均压力减饱和蒸气压取 100 kPa。每次计算先稳定至少 40 个驱动周期，再记录 12 个周期；扫频取 56 个频率。

Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics (1995), Eqs. 2.27, 3.10, 4.3–4.8, 4.14 · Barnkob et al. (2012), Table II

受驱气泡为什么不再线性

模型假设

模型是无界水中的单个球形气泡，受均匀正弦声压驱动。半径满足 Rayleigh–Plesset 方程（Brennen 1995，式 2.27），包含多方气体、表面张力、液体黏性，并把声辐射损失折算成附加黏性（Brennen 第 4.4 节）。模型不含热阻尼、气体扩散、辐射项以外的液体可压缩性、形状失稳和相邻气泡，因此共振峰比真实水中更高。这里只有一个气泡，不是空化云。半径、扫频和发出的声音都是模型输出，不是实测数据。

四个驱动周期内的半径

当前驱动声压下的扫频

气泡发出声音的频谱

更多数值与检验方法

固有频率（Brennen 式 4.8）: $0$
线性峰值频率（Brennen 式 4.6）: $0$
该驱动下的线性振幅（Brennen 式 4.3）: $0$
液体黏度: $0$
辐射损失折算黏度: $0$
最大泡壁速度与声速之比: $0$
发出声音的二次谐波: $0$
驱动频率以下最强的谱线: $0$
记录前模拟的驱动周期数: $0$

黄色始终是模拟的 Rayleigh–Plesset 气泡，青色虚线始终是线性理论。驱动为 0.5 kPa 时，整个扫频范围内模拟振幅与线性理论相差约 1% 以内；积分器还能复现 Rayleigh 空泡溃灭时间系数 0.915 和 Brennen 式 2.29 的能量积分。扫频图中的红圈表示泡壁速度超过声速十分之一的驱动。

先抓重点

核心问题: 声场里的气泡什么时候不再像一个简单的共振子？
一句话直觉: 振幅小时，气泡遵循线性共振理论：固有频率附近一个峰，峰高由阻尼决定。驱动增强后，摆动变得一边大一边小，共振峰移向低频，气泡发出谐波；在两倍固有频率附近，它还会以驱动频率的一半作答。

核心数学模型

Rayleigh–Plesset 方程

\rho\left(R\ddot R+\tfrac32\dot R^2\right)=p_{G0}\left(\frac{R_0}{R}\right)^{3k}-\left(p_\infty(t)-p_V\right)-\frac{2S}{R}-\frac{4\mu_E\dot R}{R}

这是球形泡壁周围液体的牛顿定律（Brennen 式 2.27）。气体压力服从指数为 $k$ 的多方规律； $S$ 是表面张力， $\mu_E$ 是液体黏性加上辐射项。

固有频率

\omega_N^2=\frac{1}{\rho R_0^2}\left[3k\left(\bar p_\infty-p_V\right)+\frac{2(3k-1)S}{R_0}\right]

Brennen 式 4.8。水中 3 µm 的空气泡 $f_N\approx1.27\,\mathrm{MHz}$ ；气泡更大时频率大致按 $1/R_0$ 下降。

线性响应

\frac{R-R_0}{R_0}=\mathrm{Re}\left\{\varphi e^{i\omega t}\right\},\qquad \varphi=\frac{\tilde p}{\rho R_0^2\left(\omega^2-\omega_N^2-i\omega\,4\nu_E/R_0^2\right)}

Brennen 式 4.3，驱动为 $p_\infty-\bar p_\infty=\mathrm{Re}\{\tilde p e^{i\omega t}\}$ 。它只在 $|\varphi|\ll1$ 时成立；Lab 中的虚线就是它。

气泡发出的声音

p_a(r,t)=\frac{\rho}{4\pi r}\,\ddot V\!\left(t-\frac{r}{c}\right)=\frac{\rho}{r}\left(R^2\ddot R+2R\dot R^2\right)

Brennen 式 3.10：远离气泡处，发出的声压跟随体积加速度。半径变化越急，比如急速收缩，声脉冲就越强、越短。

常见难点

半径曲线不是空化云

容易误解半径剧烈摆动时，Lab 显示的就是水槽或螺旋桨上看到的空化。

正确理解Lab 只跟踪无界水中的一个球形气泡。真实空化涉及许多相互作用的气泡，它们会分裂、失去球形，并与水交换气体和热量。这些都不在模型里。

动手实验

01
先轻轻推
选择“弱驱动：线性共振”。
你会看到： 黄色半径曲线与虚线线性理论重合，模拟扫频也描出同一个单峰。
02
用力推
选择“强驱动：共振峰左倾”，再加大驱动声压。
你会看到： 气泡膨胀远多于收缩，模拟共振峰移到固有频率以下，频谱里出现一串谐波。
03
在两倍固有频率处驱动
选择“两倍共振频率：半频声”。
你会看到： 大小摆动交替出现，图样每两个驱动周期才重复一次，频谱在驱动频率一半处出现红线。

受驱气泡振荡：线性共振与非线性半径

气泡是一根不肯保持线性的弹簧

核心数学模型

Rayleigh–Plesset 方程

固有频率

线性响应

气泡发出的声音

常见难点

半径曲线不是空化云

动手实验

先轻轻推

用力推

在两倍固有频率处驱动

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