声波在界面上反射多少、透过多少

界面上必须成立的两件事

一列平面波从阻抗为 $Z_1$ 的介质垂直射向阻抗为 $Z_2$ 的介质。界面左边有入射波和反射波，右边只有透射波。把三列波的声压振幅分别记作 $p_i$ 、 $p_r$ 、 $p_t$ 。

界面两侧必须满足两个条件。第一，压强连续，否则界面这层没有质量的薄片会受到无限大的加速度。第二，法向速度连续，否则两种介质会分开或互相穿透。

每列波的速度用上一章的 $v=\pm p/Z$ 写出，反射波向左走，取负号。两个条件给出两条线性方程，解出来就是下面两个系数。

p_i+p_r=p_t,\qquad \frac{p_i-p_r}{Z_1}=\frac{p_t}{Z_2}

左式是压强连续，右式是法向速度连续。

R=\frac{p_r}{p_i}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad T=\frac{p_t}{p_i}=\frac{2Z_2}{Z_2+Z_1}=1+R

两种介质阻抗相同时

R=0

，声波毫无察觉地穿过去，不管两者的密度和声速分别差多少。

水中的声波垂直射到聚苯乙烯上。箭头高度表示声压振幅：入射 1、反射

R=0.246

、透射

T=1.246

。塑料阻抗更大，所以透射波只带走 93.9% 的能量。原创示意图。

来源：J. A. Jensen · R. Barnkob

透射声压比入射还大，能量却守恒

从水射向更“硬”的材料时， $T>1$ ：透射波的声压比入射波还大。这并不违反能量守恒，因为能量流是 $p^2/(2Z)$ ，透射一侧的阻抗大，同样的声压只带走更少的能量。

把反射和透射的能量流分别除以入射能量流，二者之和必须等于 1。下面的等式对任意 $Z_1$ 、 $Z_2$ 恒成立，可以直接展开验证。

反过来从硬材料射向水时， $R$ 变号：反射波的声压与入射波反相。脉冲回波实验的通道数据里，板后表面的回波正因为这个符号而倒置。

R^2+\frac{Z_1}{Z_2}T^2=1

第一项是反射回去的能量份额，第二项是透过去的份额。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

不用公式的检验：直接模拟一维波动

公式是推出来的，还可以独立检查。脉冲回波实验配套的基准程序把一维管子分成很多小格，交替更新每格的压强和速度，让一个脉冲从水里撞向塑料或玻璃。程序里从不出现反射系数，界面只是两种材料的格子挨在一起。

每个波长分 120 格时，模拟得到的聚苯乙烯反射系数为 0.24633，公式为 0.24621；派热克斯玻璃为 0.78904 对 0.78898。两侧能量加起来与入射能量之比为 1.0002 和 1.0001。格子每缩小一半，误差约降到四分之一，说明差别来自离散化，格子越细越接近公式。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

完整例题：一块 2 mm 的塑料板送回几次回波

水 $Z_1=1.49\,\mathrm{MRayl}$ ，聚苯乙烯 $Z_2=1050\times2350\,\mathrm{Rayl}=2.47\,\mathrm{MRayl}$ 。前表面 $R=0.246$ ，只有 6.06% 的能量被反射，其余 93.9% 进入板内。

进入板内的波到后表面时，从塑料射向水，反射系数为 $-0.246$ ；再穿回水里，透射系数 $T_{21}=2Z_1/(Z_1+Z_2)=0.754$ 。第一个后表面回波的振幅是 $T_{12}R_{21}T_{21}=1.246\times(-0.246)\times0.754=-0.231$ ，和前表面回波差不多亮，但符号相反。板内再多来回一次，振幅还要乘 $R_{21}^2=0.061$ ，降到 0.014。

换成派热克斯玻璃， $Z_2=12.7\,\mathrm{MRayl}$ ，前表面 $R=0.789$ ，62% 的能量直接被反射。板内每次往返只损失很少，多次回波依次为 $-0.298$ 、 $-0.185$ ……形成一串“振铃”。

时间上，板前表面在 28 mm 处，回波在 $2\times28\,\mathrm{mm}/1497\,\mathrm{m/s}=37.4\,\mu\mathrm{s}$ 到达；后表面回波还要多走板内一来回，即多 $2\times2\,\mathrm{mm}/2350\,\mathrm{m/s}=1.70\,\mu\mathrm{s}$ 。第四章会看到，这段时间差让板在图像上显得变薄。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

到实验里试一试

对比塑料板和玻璃板的回波

在“三根细丝和一块板”预设下读出“板面的声压反射系数”，与 $R=0.246$ 对照。
选“玻璃板的多次回波”预设，在通道数据图里数板后面还有几道回波，并看它们的间距是否相等。
比较两种板的后表面回波：塑料板的后表面回波和前表面差不多亮，玻璃板的后表面回波却比前表面暗得多。用本章例题的数字解释。

练习与解答

声波从派热克斯玻璃垂直射向水，声压反射系数和透射系数各是多少？透射的能量份额是多少？

展开解答

此时 $Z_1=12.7$ 、 $Z_2=1.49\,\mathrm{MRayl}$ ， $R=-0.789$ ， $T=0.211$ 。能量份额 $(Z_1/Z_2)T^2=8.48\times0.0445=0.378$ ，与从水射向玻璃时透射的份额相同。

两种材料密度不同、声速也不同，却可能完全不反射声波。条件是什么？

展开解答

只要阻抗相等， $\rho_1c_1=\rho_2c_2$ ，就有 $R=0$ 。密度大一倍、声速小一半的材料对正入射的声波是“隐形”的。斜入射时这一结论不再成立。

证明能量关系 $R^2+(Z_1/Z_2)T^2=1$ 。

展开解答

代入 $R=(Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1)$ 和 $T=2Z_2/(Z_2+Z_1)$ ，分子为 $(Z_2-Z_1)^2+4Z_1Z_2=(Z_2+Z_1)^2$ ，正好等于分母，所以和为 1。

来源与复算范围

R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)

2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。

M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)

2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。

J. A. Jensen, Notes for the International Summer School on Advanced Ultrasound Imaging, Technical University of Denmark (21 May 2024)

第 2 章式 2.45—2.51（线性声学方程与波动方程）。第 3 章式 3.8—3.11（线孔径、第一零点、第一旁瓣）、式 3.15—3.17（栅瓣）与式 3.24（F 数）。第 5 章式 5.3—5.4（脉冲与往返延迟）。声阻抗反射系数不取自这份讲义。