鼓膜、平板和充液通道里的驻波

两列反向的波叠成驻波

两列振幅相同、方向相反的平面波相加，行进的部分互相抵消，剩下驻波：空间形状固定，只随时间整体起伏。声压在 $\cos(ky)=0$ 处始终为零，这些点叫声压节点；在 $\cos(ky)=\pm1$ 处起伏最大，叫声压波腹。

速度场由运动方程给出，形状是 $\sin(ky)$ ，在时间上比声压落后四分之一周期。声压节点正是速度波腹，二者相隔四分之一波长。驻波里的“节点”必须说明是哪个量的节点。

p_1=p_a\cos(ky)\cos(\omega t),\qquad v_1=\frac{p_a}{\rho_0c_0}\sin(ky)\sin(\omega t)

坐标原点放在左侧壁，

k=2\pi/\lambda

。这是 Barnkob 等人式 1 把原点从通道中心移到侧壁后的形式。

硬侧壁通道中的半波共振。青色：声压振幅，侧壁处最大、正中为零。琥珀色：速度振幅，侧壁处为零、正中最大。

\Phi>0

的微珠聚在声压节点上。原创示意图。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

硬壁之间的共振频率

液体碰到硬壁时不能穿过去，壁上的法向速度必须为零，也就是 $\sin(ky)=0$ 。两侧壁 $y=0$ 和 $y=w$ 都要满足，所以通道宽度必须是半波长的整数倍。

Barnkob 等人 2012 年的硅玻璃芯片通道宽 $w=377\,\mu\mathrm{m}$ 、高 $157\,\mu\mathrm{m}$ 。按理想硬壁估计， $n=1$ 的共振频率是 1.985 MHz；他们实际驱动在 1.940 MHz，比理想估计低约 2%。真实芯片不是理想的硬壁盒子，所以实验总要扫频来找共振。

w=n\frac{\lambda}{2},\qquad f_n=\frac{nc_0}{2w},\qquad y_{\mathrm{node}}=\Big(j+\tfrac12\Big)\frac{w}{n},\; j=0,\dots,n-1

最后一式是声压节点的位置。

n=1

时只有一个节点，在通道正中。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

鼓膜、平板和液体：三种驻波，三种节点

网站上另有两个实验也展示驻波，但振动的东西不同。鼓膜是绷紧的薄膜，振动量是膜面的横向位移，回复力来自张力。圆形鼓膜的固有频率由贝塞尔函数零点决定，泛音不是基频的整数倍：第一个泛音约为基频的 1.59 倍。

Chladni 板是有弯曲刚度的金属板，回复力来自弯曲。对四边简支的方板，固有频率正比于 $m^2+n^2$ ，模式越高频率涨得越快。板上振动处的沙子被抛开，最后停在不动的节线上：这里的节点是位移节点。

通道里的液体则是压强场：振动量是标量声压，液体沿传播方向来回运动，是纵波。下一章以后会看到，比水硬、比水重的微珠被推向声压节点，那里恰好是液体速度最大的地方。同样叫“聚到节点上”，Chladni 沙子停在位移为零处，而声镊里的微珠停在声压为零、速度最大处。

机械晶格实验又是另一种情形：离散的质量和弹簧，波长接近原子间距时频率不再与波数成正比。本课程用的连续介质声学只在波长远大于微观结构时成立。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

完整例题：377 µm 通道里的声压节点

取水的声速 1497 m/s。 $n=1$ 时 $f_1=1497/(2\times377\times10^{-6})\,\mathrm{Hz}=1.985\,\mathrm{MHz}$ ，波长 $\lambda=2w=754\,\mu\mathrm{m}$ ，声压节点在 $y=188.5\,\mu\mathrm{m}$ 。 $n=2$ 时频率加倍到 3.97 MHz，两个节点在 94.3 µm 和 282.8 µm。

声能密度取 $E_{\mathrm{ac}}=20\,\mathrm{J/m^3}$ 。由 $E_{\mathrm{ac}}=\kappa_0p_a^2/4$ 得 $p_a=\sqrt{4E_{\mathrm{ac}}/\kappa_0}=423\,\mathrm{kPa}$ 。声压节点上液体的速度振幅 $v_a=p_a/(\rho_0c_0)=0.283\,\mathrm{m/s}$ ，位移振幅 $v_a/\omega=22.7\,\mathrm{nm}$ 。

这里的位移比一颗 5 µm 微珠小两百多倍。微珠并不是被液体“冲”到节点上的：一个周期内它只跟着来回晃几十纳米。把它推到节点的是辐射力：一个二阶效应，时间平均后不为零，第五章再讲。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

到实验里试一试

数一数通道里的节点

在声镊实验里把“通道内的半波长个数”从 1 调到 2、3，看微珠排成几条线，量出它们的位置。
用 $y_{\mathrm{node}}=(j+\tfrac12)w/n$ 验证每条线的位置，并说明为什么没有一条线贴着侧壁。

对照 Chladni 板上的节线

打开“四瓣共振”预设，看节线把板分成几块，相邻两块的运动方向有什么关系。
再选“在节点激振”。驱动点落在节线上时，为什么这个振型振不起来？对照通道里液体在侧壁处速度为零的条件。

听鼓膜的泛音

选“中心敲击 · 全模态”，读出所选振型与基频之比，确认它们不是整数。
与通道共振频率 1、2、3 倍的整数比对照，说明差别来自二维圆形边界。

练习与解答

同一通道在 $n=3$ 时的共振频率和三个声压节点位置各是多少？

展开解答

$f_3=3\times1.985\,\mathrm{MHz}=5.96\,\mathrm{MHz}$ 。节点在 $w/6$ 、 $w/2$ 、 $5w/6$ ，即 62.8 µm、188.5 µm 和 314.2 µm。

把通道里的水换成声速更高的液体，宽度不变， $n=1$ 的共振频率和节点位置怎样变？

展开解答

频率 $f_1=c_0/(2w)$ 与声速成正比地升高；节点位置只由几何决定，仍在通道正中。这正是为什么实验必须扫频重找共振，而节点位置不必重算。

驻波中声压节点处的平均声能是零吗？

展开解答

不是。声压节点处势能为零，但液体速度最大，动能密度的时间平均为 $\rho_0v_a^2/4$ 。在整个驻波上平均，动能和势能各占一半，合起来正是 $E_{\mathrm{ac}}=\kappa_0p_a^2/4$ 。

来源与复算范围

R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)

2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。

M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)

2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。