驻波里的声流怎样让液体转圈

壁面边界层里推出的稳态流

液体在通道上下壁面处不能滑动，而一层之外的液体正随声波来回晃。速度从零变到声场值的这层很薄，厚度是粘性穿透深度 $\delta$ 。在 2 MHz 附近的水里只有约 0.4 µm，比通道高度小几百倍。

边界层里的速度变化很陡，二阶的平均动量通量不为零，于是推动边界层外的液体缓慢地稳定流动，这就是 Rayleigh 声流。它的特征速度 $u_0$ 与声能密度成正比。

\delta=\sqrt{\frac{2\nu}{\omega}},\qquad u_0=\frac{4E_{\mathrm{ac}}}{\rho_0c_0}

左式见 Settnes 与 Bruus 式 1，

\nu=\eta/\rho_0

是运动粘度。右式是 Barnkob 等人式 5 中的声流速度尺度。

来源：M. Settnes and H. Bruus · R. Barnkob

四个涡和中平面上的流向

在波长远大于通道高度、高度又远大于 $\delta$ 的极限下，Rayleigh 给出了边界层外的速度场。截面里有四个涡：中平面附近的液体流向声压节点，靠近上下壁面的液体流回侧壁。

在中平面 $\zeta=0$ 上，水平速度正好是 $\tfrac{3}{16}u_0\sin(2ky)$ ，与正对比颗粒的辐射漂移形状相同、方向也相同。在中平面上两种漂移可以直接相加，第五章的精确解仍然成立。离开中平面，声流会把颗粒带上带下，这只能数值积分。

真实的矩形通道和平行板不同。Barnkob 等人估计，矩形截面把中平面声流降到平行板的 0.82 倍；声场里的温度起伏会改变粘度，这种热粘效应又把它放大 1.26 倍，合起来系数约为 0.194，与 Rayleigh 的 $3/16=0.1875$ 几乎相同。实验采用 Rayleigh 的平行板形式。

U_y=\frac{3}{16}u_0\sin(2ky)\,(1-3\zeta^2),\qquad U_z=-\frac{3}{16}u_0\,kh\cos(2ky)\,(\zeta-\zeta^3),\qquad \zeta=\frac{2z}{h}-1

Barnkob 等人式 6a—b，原点移到左侧壁。

|\zeta|>1/\sqrt3

时水平流向反转，这就是涡的上下两半。

硬侧壁通道中的半波共振。青色：声压振幅，侧壁处最大、正中为零。琥珀色：速度振幅，侧壁处为零、正中最大。

\Phi>0

的微珠聚在声压节点上。原创示意图。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

颗粒多小会输给声流

辐射漂移正比于 $a^2$ ，声流对颗粒的拖曳与颗粒大小无关。二者之比只剩颗粒半径和一个长度尺度 $a_0$ 。比值等于 1 时的颗粒直径叫临界直径。

一个关键结论是：两种漂移都正比于 $E_{\mathrm{ac}}$ ，所以开大功率不能让小颗粒聚焦，只会让它们转得更快。要降低临界直径，只能提高频率、降低粘度，或换对比因子更大的颗粒。

\frac{u^{\mathrm{rad}}}{u^{\mathrm{str}}}=\frac{1}{s}\frac{a^2}{a_0^2},\qquad a_0=\delta\sqrt{\frac{3}{\Phi}},\qquad 2a_c=2a_0\sqrt{s}=\sqrt{\frac{24\nu s}{\omega\Phi}}

Barnkob 等人式 12—14。

s

是中平面声流系数，平行板时为

3/16

。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

完整例题：聚苯乙烯微珠的临界直径

取 Barnkob 等人的工作频率 1.940 MHz、25 °C 的水， $\nu=8.93\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}$ 。粘性穿透深度 $\delta=0.383\,\mu\mathrm{m}$ ，与他们表 II 的 0.38 µm 一致。取 $\Phi=0.17$ ， $a_0=1.61\,\mu\mathrm{m}$ 。

平行板系数 $s=3/16$ 给出 $2a_c=1.39\,\mu\mathrm{m}$ ；用他们修正后的 $s=0.194$ 得 1.42 µm。论文在 2 MHz 下给出“约 1.4 µm”。实验在 1.985 MHz 下用计入粘性的对比因子求得 1.395 µm。

换到实验默认的 $E_{\mathrm{ac}}=20\,\mathrm{J/m^3}$ ： $u_0=53.6\,\mu\mathrm{m/s}$ ，中平面声流最大 10.1 µm/s。5 µm 微珠的辐射漂移 129 µm/s，是声流的 12.8 倍，几乎完全由辐射力决定。0.6 µm 的颗粒辐射漂移只有 1.85 µm/s，不到声流的五分之一，只会随涡转圈。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

到实验里试一试

找出颗粒聚焦与转圈的分界

选“小颗粒随涡流转圈”，看 0.6 µm 颗粒在截面里怎样运动，再关掉“计入声流”对比。
选“接近临界尺寸”，在“按颗粒尺寸比较辐射力与声流”图里找到辐射占一半的直径，与 1.4 µm 对照。
把声能密度从 20 调到 80，看临界直径读数变不变，并用本章公式解释。

练习与解答

声能密度加倍，临界直径和颗粒转一圈的时间各怎样变？

展开解答

临界直径不变，因为辐射漂移和声流都正比于 $E_{\mathrm{ac}}$ ，比值与它无关。所有速度加倍，转一圈的时间减半。

把频率从 1.940 MHz 提高到 3.900 MHz（Barnkob 等人的另一组实验），取 $s=0.194$ 、 $\Phi=0.17$ ，临界直径变成多少？

展开解答

$2a_c\propto\omega^{-1/2}$ ，所以 $1.42\,\mu\mathrm{m}/\sqrt{3.900/1.940}=1.00\,\mu\mathrm{m}$ 。频率加倍只能让临界直径缩小约 30%。

为什么在中平面上可以把声流和辐射漂移直接相加，离开中平面就不行？

展开解答

在中平面 $U_z=0$ ，而 $U_y$ 与辐射漂移都正比于 $\sin(2ky)$ ，合成的方程仍是 $\dot y=A\sin(2ky)$ 的形式。离开中平面， $U_z$ 把颗粒带离这一平面，水平声流的大小也随高度变化，两种运动耦合在一起，只能数值积分。

来源与复算范围

R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)

2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。

M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)

2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。