M066 · 受驱弯曲薄板

Chladni 薄板共振

在三维薄板上移动点激振器，调谐共振、拉长矩形以拆开简并模态，再把驱动移到节点上，让一个振型安静下来。

所选固有频率 $0\,\mathrm{Hz}$

所选／基频 $0$

金色点位移 $0\,\mathrm{\mu m}$

金色点均方根位移 $0\,\mathrm{\mu m}$

实际高度放大倍数 $0$

显示部分的机械能 $0\,\mathrm{\mu J}$

平均输入功率 $0\,\mathrm{\mu W}$

激振与几何

让共振显形

所选横向模态

m

2.00\,

所选纵向模态

n

2.00\,

驱动／基频

f_d/f_{11}

4.00\,

纵横比

b/a

1.00\,

薄板厚度

h

2.00\,\mathrm{mm}

激振点横向位置

x_d/a

0.32\,

激振点纵向位置

y_d/b

0.36\,

模态阻尼比

\zeta

0.01\,

高度包络／短边

H_{\rm env}/L_{\min}

0.32\,

假定均匀铝材参数、各向同性弹性，不含面内张力。四边位移与弯矩为零，斜率可以非零。铜色边框标出静止平面，边框竖向厚度为示意。

采用二十五个正弦乘积模态，以规定正弦点力驱动，各模态阻尼比相同。仅显示稳态响应，不含开启瞬态。改变所选序号后，使用“调谐至所选模态”。

物理坐标位于静止表面，正位移向上。高度包络决定整段回放固定的放大倍数，实际倍数显示在读数中；振幅图显示长时间均方根运动，轨迹使用物理单位。慢放以基频周期计时，不等于真实时间。

仅适用于微小横向运动与线性弹性。不含沙粒或摩擦动力学、声音合成、空气载荷、真实材料标定、自由边薄板、夹紧边薄板或接触力。有限模态截断限制空间细节。

四边简支的各向同性 Kirchhoff–Love 薄板，保留二十五个弯曲模态并指定模态阻尼。振幅图是计算的位移，不是沙粒迁移；自由边与夹紧边需要其他振型。

先抓重点

核心问题: 即使频率共振，把激振器放在节点上还能让该模态安静吗？
一句话直觉: 共振既需要频率匹配，也需要空间耦合；节点处的驱动对该模态耦合为零。

核心数学模型

指定参数

E=70\,\mathrm{GPa},\quad\nu=0.33,\quad\rho=2700\,\mathrm{kg/m^3},\quad F_0=0.2\,\mathrm{mN}

均匀材料参数是教学假定；微小驱动力让线性薄板保持在小挠度范围。

弯曲方程

D\nabla^4w+\rho h\,\ddot w=p,\qquad D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}

采用均匀厚度、各向同性线弹性的 Kirchhoff–Love 理论；规定的模态阻尼在投影后加入。

四边简支矩形

\phi_{mn}=\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b},\quad \omega_{mn}=\pi^2\sqrt{\frac{D}{\rho h}}\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)

正整数序号从一开始；边缘位移与法向弯矩为零，但斜率没有被夹紧。

复数模态响应

Q_{mn}=\frac{F_0\phi_{mn}(x_d,y_d)}{M_{mn}(\omega_{mn}^2-\Omega^2+2i\zeta\omega_{mn}\Omega)},\quad M_{mn}=\frac{\rho hab}{4}

显示位移是模态总和乘驱动复相位后的实部；全部保留模态都参与。

独立的功率账本

\overline P_{\rm in}=-\frac{F_0\Omega}{2}\sum_{mn}\phi_{mn}(x_d,y_d)\operatorname{Im}Q_{mn}=\sum_{mn}\zeta M_{mn}\omega_{mn}\Omega^2|Q_{mn}|^2

稳态平均输入功率等于平均黏性耗散，不表示瞬时机械能恒定。

常见难点

振幅图不是沙粒

容易误解每条浅色线都预测实测沙粒花纹。

正确理解这张图来自线性模型的均方根位移，沙粒运动、摩擦、空气与真实支撑柔度都不在模型中。

动手实验

01
把驱动放到节点
比较“四瓣共振”和“在节点激振”，保持所选频率不变。
应该观察到： 所选模态受到抑制，其他偏离共振的模态仍可能运动。
02
拆开相同频率
先试“简并振型”，再试“打破对称”。改变长宽比后，调谐至所选模态。
应该观察到： 互换序号的两个模态在正方形上同频，在矩形上分开。
03
区分物理与显示
把厚度加倍，再只改变高度显示增益。
应该观察到： 厚度加倍使固有频率加倍，显示增益不改变物理轨迹与功率。

一手资料：NASA SP-160 · Vibration of Plates Experimental simply supported plates