M066 · 受驱弯曲薄板

Chladni 薄板共振

按薄板的共振频率去驱动，对应的振型一定会振起来吗？ 不一定。共振要两个条件：频率对上，驱动点还要落在这个振型会动的地方。驱动点放在它的节线上，驱动力对这个振型不做功，频率再准它也振不起来；其他没共振的振型仍会小幅运动。正方形板上，两个振型可以同频，驱动位置决定它们怎样混合。

在三维薄板上移动点激振器。调到共振，把板拉长，拆开一对同频的简并模态；再把激振点移到节点上，让一个振型安静下来。

所选固有频率 $0\,\mathrm{Hz}$

所选／基频 $0$

金色点位移 $0\,\mathrm{\mu m}$

金色点均方根位移 $0\,\mathrm{\mu m}$

实际高度放大倍数 $0$

显示部分的机械能 $0\,\mathrm{\mu J}$

平均输入功率 $0\,\mathrm{\mu W}$

激振与几何

让共振显形

边界支承

b_{\rm clamp}

0.00\,

横向模态 · 自动调谐

m

2.00\,

纵向模态 · 自动调谐

n

2.00\,

驱动／基频

f_d/f_{11}

4.00\,

纵横比

b/a

1.00\,

薄板厚度

h

2.00\,\mathrm{mm}

激振点横向位置

x_d/a

0.32\,

激振点纵向位置

y_d/b

0.36\,

模态阻尼比

\zeta

0.01\,

高度包络／短边

H_{\rm env}/L_{\min}

0.32\,

薄板假定均匀，参数接近铝材，弹性各向同性，没有面内张力。简支边的位移与弯矩为零，夹紧边的位移与斜率为零。铜色边框标出静止平面，边框的竖向厚度只是示意。

简支薄板用二十五个精确正弦乘积模态，夹紧薄板用二十五项 Rayleigh–Ritz 模态；各模态阻尼比相同，由给定的正弦点力驱动。画面只显示稳态响应，不含刚开始驱动时的瞬态。改变所选序号后，再用“调谐至所选模态”。

物理坐标位于静止表面内，位移向上为正。高度包络决定整段回放用同一个放大倍数，实际倍数显示在读数里。振幅图显示长时间的均方根运动，轨迹用物理单位。慢放按基频周期计时，不是真实的秒数。

示意沙粒做带固定种子的随机游走，步长方差随算得的局部均方根振幅增大。初始花纹已演化850步；迁移步数、粒径与振幅分别缩放，不预测实物沙粒的离板、摩擦、碰撞和气流导致的反花纹。夹紧模态序号按主要试探函数命名，不一定等于节点条数；高阶 Ritz 模态收敛较慢。

模型只适用于微小的横向运动和线性弹性。不计算沙粒碰撞、摩擦、声音、空气载荷、材料标定、薄板自由边和接触力。只保留有限个模态，空间细节因此受限。

各向同性薄板按 Kirchhoff–Love 理论计算：简支边用二十五个精确模态，夹紧边用二十五项 Rayleigh–Ritz 近似，阻尼给定。示意沙粒按随局部振幅变化的随机游走聚集，时间与粒径已缩放。

先抓重点

核心问题: 即使频率共振，把激振器放在节点上还能让该模态安静吗？
一句话直觉: 共振既要频率对上，也要推在振型会动的地方；激振点落在节点上，就完全耦合不进这个模态。

核心数学模型

指定参数

\begin{gathered}E=70\,\mathrm{GPa},\quad\nu=0.33\\\rho=2700\,\mathrm{kg/m^3}\\F_0=0.2\,\mathrm{mN}\end{gathered}

均匀材料参数是教学假定；微小驱动力让线性薄板保持在小挠度范围。

弯曲方程

\begin{gathered}D\nabla^4w+\rho h\,\ddot w=p\\D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\end{gathered}

采用 Kirchhoff–Love 理论：厚度均匀，材料各向同性、线弹性。给定的模态阻尼在投影到各模态之后加入。

四边简支矩形的模态

\begin{gathered}\phi_{mn}=\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\\\omega_{mn}=\pi^2\sqrt{\frac{D}{\rho h}}\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)\end{gathered}

正整数序号从一开始；边缘位移与法向弯矩为零，但斜率没有被夹紧。

各模态的复数响应

\begin{gathered}Z_k=\omega_k^2-\Omega^2+2i\zeta\omega_k\Omega\\Q_k=\frac{F_0\phi_k(x_d,y_d)}{M_k Z_k}\end{gathered}

位移是模态总和乘上驱动复相位后的实部。正弦乘积的模态质量为总质量的四分之一；面积归一化的 Ritz 模态质量等于总质量。

输入功率等于耗散功率

\begin{gathered}W_d=\sum_k\phi_k(x_d,y_d)Q_k\\\overline P_{\rm in}=-\frac{F_0\Omega}{2}\operatorname{Im}W_d\\\overline P_{\rm loss}=\sum_k\zeta M_k\omega_k\Omega^2|Q_k|^2\end{gathered}

稳态时，平均输入功率等于平均黏性耗散；这并不表示机械能每一刻都不变。

夹紧薄板

w=0,\qquad \partial_n w=0

夹紧既固定边缘位移，也固定斜率。二十五个满足边界的多项式乘积给出 Rayleigh–Ritz 近似，序号按主要试探函数命名。方板基频参数约为35.99，简支时约为19.74。

常见难点

金色沙粒表示什么

容易误解模拟沙粒能预测实物实验的迁移速度与精确花纹。

正确理解板上的沙粒用随机游走演示：振动越弱，迁移越慢。迁移用独立的无量纲时钟；实物离板、摩擦、碰撞、气流和支撑柔度需要另建模型。鼓膜直接显示位移。

动手实验

01
把驱动放到节点
比较“四瓣共振”和“在节点激振”，保持所选频率不变。
你会看到： 所选模态受到抑制，其他偏离共振的模态仍可能运动。
02
拆开相同频率
先试“简并振型”，再试“打破对称”。改变长宽比后，调谐至所选模态。
你会看到： 互换序号的两个模态在正方形上同频，在矩形上分开。
03
区分物理与显示
把厚度加倍，再只改变高度显示增益。
你会看到： 厚度加倍，固有频率也加倍；显示增益不改变物理轨迹和功率。

一手资料：NASA SP-160 · Vibration of Plates Grain diffusion · Abramian et al. (2025)Experimental simply supported plates

Chladni 薄板共振

弯曲带来不同的频谱

核心数学模型

指定参数

弯曲方程

四边简支矩形的模态

各模态的复数响应

输入功率等于耗散功率

夹紧薄板

常见难点

金色沙粒表示什么

动手实验

把驱动放到节点

拆开相同频率

区分物理与显示

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