FR36-A · 岩层界面上的弹性波

地震波在界面的反射与 P–S 波型转换

P 波斜射到岩层界面上，会变成什么？ 它最多分成四束波：反射 P 波、反射 S 波、透射 P 波和透射 S 波。各波沿界面的水平慢度相同，由此定出角度；界面上的边界条件决定能量怎样分配。超过临界角后，相应的透射波不再把能量带进下层岩石。

地下一炮激发的 P 波遇到两种岩石之间的平直界面。看它分成反射和透射的 P 波、S 波；拖动震源即可改变入射角。

反射 P 波能量 $14.3\,\%$

反射 S 波能量 $42\,\%$

透射 P 波能量 $0\,\%$

透射 S 波能量 $43.7\,\%$

一束 P 波分成四束

入射角（度）

i_1

40

下层 P 波速（m/s）

\alpha_2

4000

下层 S 波速（m/s）

\beta_2

2200

显示的波场

拖动震源或界面上的金色入射点，即可改变入射角。

模型、单位与来源

$\frac{\sin i_1}{\alpha_1}=\frac{\sin j_1}{\beta_1}=\frac{\sin i_2}{\alpha_2}=\frac{\sin j_2}{\beta_2}=p$

画面窗口宽 2.5 km、深 1.5 km；射线按比例绘制，线宽表示能量比例。

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模型假设

两个焊接在一起的弹性半空间，二维，只含 P-SV 运动。波场由四阶交错网格速度—应力有限差分求得，外围有吸收层；射线、角度和能量比例来自精确的平面波边界条件（Zoeppritz 方程），按四个方程的复线性方程组求解。能量比例是各波竖直方向的能流除以入射能流；超过临界角，该波不带走能量。岩石的波速和密度是假设的示意值。画面中 P 波运动为橙色、S 波运动为青色；波前弯曲、首波以及窗口上方的自由表面都不在平面波系数之内。

模拟炮集记录与射线理论到时

直达 P（射线理论）
反射 P
P 转 S
首波

能量分配随入射角的变化（平面波参考）

反射 P
反射 S
透射 P
透射 S
四者之和

更多读数与模型记录

P 波临界角
S 波临界角
射线参数
透射 P 波角
反射 S 波角
透射 S 波角
反射 P 波振幅比
反射 P 波相位
垂直入射反射系数（阻抗公式）
四个能量比例之和
最短波长内的网格点数

记录保存两种介质、入射角、精确系数和模拟记录。

继续学习：从地震波到反演的地震成像

先抓重点

核心问题: P 波斜射到岩层界面上，会变成什么？
一句话直觉: 四束出射波沿界面的水平慢度都相同，所以角度由 Snell 定律给出。每束波带走多少能量，则由界面上位移和应力（牵引力）连续的要求决定；四个能量比例之和始终为一。

核心数学模型

P 波与 S 波的 Snell 定律

p=\frac{\sin i_1}{\alpha_1}=\frac{\sin j_1}{\beta_1}=\frac{\sin i_2}{\alpha_2}=\frac{\sin j_2}{\beta_2}

式中 $\alpha$ 、 $\beta$ 分别是上层（1）和下层（2）的 P、S 波速； $i$ 是 P 射线与法线的夹角， $j$ 是 S 射线的夹角。若某束透射波的波速大于入射 P 波速，它就有临界角。

垂直入射

R=\frac{\rho_2\alpha_2-\rho_1\alpha_1}{\rho_2\alpha_2+\rho_1\alpha_1},\qquad E_{\rm R}+E_{\rm T}=R^2+\frac{\rho_2\alpha_2}{\rho_1\alpha_1}T^2=1

入射角为零时不产生 S 波，反射只由两侧声阻抗决定。实验用这个值检验有限差分波场。

穿过界面的能流

E_k=\frac{\rho_k\,c_k\cos\theta_k}{\rho_1\,\alpha_1\cos i_1}\,\lvert A_k\rvert^2,\qquad \sum_k E_k=1

出射波 $k$ 的振幅比为 $A_k$ 、波速为 $c_k$ 、角度为 $\theta_k$ ，它带走入射波穿过界面能流的这一份。超过临界角的倏逝波不带走能量。

常见难点

振幅不等于能量

容易误解透射振幅大于一，说明能量被凭空产生。

正确理解能流还取决于密度、波速和角度。即使振幅比大于一，各能流比例之和仍为一。

动手实验

01
越过临界角
选“超过临界角”，把入射角从 10 度拉到 40 度。
你会看到： 大约 30 度时透射 P 波能量降为零，炮集记录中出现首波，能量转给了反射波。
02
由 P 波产生 S 波
选“P 波转成 S 波”，把波场切换为只看 S。
你会看到： 入射波是纯 P 波，却有青色 S 波前从入射点向上、向下离开：它们是在界面上产生的。
03
让一侧失去剪切刚度
选“海水覆盖岩石”，再与“下层岩石更软”比较。
你会看到： 上方是水时没有反射 S 波，但下方岩石里仍有转换出的 S 波。下层更慢时，没有临界角。

地震波在界面的反射与 P–S 波型转换