FR36-C · 线性层析与分辨率矩阵

走时层析成像：射线覆盖、分辨率与阻尼

许多个走时，怎样变成一张快慢岩石图？这张图能信到什么程度？ 每个走时都是慢度沿射线的累加，许多交叉的射线就给出每个小块慢度的线性方程组。被许多方向的射线穿过的地方能分辨清楚，别处的图像会沿射线方向被抹开。阻尼防止噪声变成假构造，代价是异常体变弱。

射线穿过 40 km 见方的岩块，里面藏着一个慢区和一个快区。把走时延迟反演到 16 行 16 列的网格上。改变台站布局和阻尼，看图像能分辨什么、不能分辨什么。

与真实模型的图样相关 $0.724$

恢复的异常幅度 $96.5\,\%$

每条射线的失配（卡方） $0.171$

分辨率矩阵对角元的平均值 $0.422$

反演延迟，再问哪些被分辨了

到时噪声（ms）

\sigma_t

20

阻尼（对数）

\log_{10}\varepsilon

-1

光滑（对数）

\log_{10}\eta

-0.5

台站布局

真实模型

在真实地下拖动圆圈，看重建结果跟着变；拖动绿色探查格，看这一格被抹成什么样。

模型、单位与来源

$\hat{\mathbf m}=\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf C_d^{-1}\mathbf G+\varepsilon^2\tau\mathbf I+\eta^2\tau\mathbf D^{\mathsf T}\mathbf D\right)^{-1}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf C_d^{-1}\mathbf d$

岩块 40 km 见方；异常体使 P 波速改变百分之几。

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模型假设

直射线穿过 40 km 见方的区域，背景 P 波速 6 km/s；慢度扰动很小，走时延迟与模型呈线性关系。平滑异常体的正演延迟是高斯团沿射线的精确线积分，不经过反演网格；棋盘和尖峰检验直接用网格本身。反演最小化加权数据失配加阻尼和一阶差分光滑项（Rawlinson 与 Spakman 2016 式 7），用 Cholesky 直接求解；动画展示共轭梯度迭代逐步逼近同一解。图中的分辨率核取分辨率矩阵的一列；这个矩阵把真实模型映射成它的重建结果。不含射线弯曲、各向异性和震源位置误差。

数据：实测延迟与重建模型的预测

实测：偏慢的射线
实测：偏快的射线
重建模型的预测

射线能分辨哪里：分辨率矩阵的对角元

接近 1：分辨得出
接近 0：分辨不出

探查格的点扩散函数

探查格

更多读数与模型记录

射线数
网格数
没有射线穿过的网格
到时噪声
已展示的共轭梯度迭代
探查格处分辨率矩阵的对角元

记录保存射线、实测与无噪声延迟、真实模型、重建结果和分辨矩阵的对角元。

继续学习：从地震波到反演的地震成像

先抓重点

核心问题: 许多个走时，怎样变成一张快慢岩石图？这张图能信到什么程度？
一句话直觉: 数据只约束射线采样方式不同的那些格子组合。正则化从许多同样拟合数据的模型中挑出一个；分辨率矩阵准确地告诉你每个真实格子在图像中被抹成什么样。

核心数学模型

正则化最小二乘

\Phi(\mathbf m)=(\mathbf G\mathbf m-\mathbf d)^{\mathsf T}\mathbf C_d^{-1}(\mathbf G\mathbf m-\mathbf d)+\varepsilon^2\tau\,\mathbf m^{\mathsf T}\mathbf m+\eta^2\tau\,\mathbf m^{\mathsf T}\mathbf D^{\mathsf T}\mathbf D\mathbf m

阻尼 $\varepsilon$ 把模型拉向背景；光滑 $\eta$ 惩罚相邻格子之差。数据项的平均对角元 $\tau$ 让两个权重都成为无量纲数。

分辨率矩阵

\hat{\mathbf m}=\mathbf R\,\mathbf m_{\rm true}+\mathbf G^{-g}\boldsymbol\epsilon,\qquad \mathbf R=\mathbf G^{-g}\mathbf G

用广义逆 $\mathbf G^{-g}$ ，估计值等于被 $\mathbf R$ 滤过的真值加上映射过来的噪声。 $\mathbf R$ 的一列就是单个尖峰的成像结果。

常见难点

棋盘复原得好不是保证

容易误解棋盘能复原，真实图像的每个细节就都可信。

正确理解棋盘只检验一种图样、一种幅度。Rawlinson 与 Spakman（2016）指出，棋盘复原得好时，其他构造仍可能被抹开；还要看点扩散函数。

动手实验

01
比较台站布局
从“台站环绕四周”开始，再选“两口井：水平拖尾”。
你会看到： 射线几乎全是水平的，两个异常体都被水平抹开，探查格的点扩散函数拉成一条横线。
02
做棋盘检验
选“棋盘检验”，再把台站布局切换为“下方地震”。
你会看到： 环形布局下棋盘复原得很好；改为下方地震后，射线未穿过的角落失去了图样。
03
去掉阻尼
选“不加阻尼：噪声占上风”，留意每条射线的失配。
你会看到： 失配远小于一，图像却布满条纹：反演在拟合噪声。

走时层析成像：射线覆盖、分辨率与阻尼