FR36-B · Geiger 方法与置信区域

用到时给地震定位，以及误差椭圆

几个台站的到时，怎样确定地震从哪里开始？又能有多大把握？ 每个台站给出一个到时，能同时解释所有到时的震源位置和发震时刻就是定位结果，靠反复的线性修正求出。台站把地震围在中间时误差椭圆很小，都在一侧时椭圆被拉长；但椭圆不包含波速假设本身的误差。

一组固定种子的地震发生在小台网里。每个地震都用带噪声的 P、S 到时做迭代最小二乘定位，并画出 95% 误差椭圆。拖动台站或震源，看椭圆怎样被拉长。

最新一次的震中误差 $0.0613\,\mathrm{km}$

95% 椭圆长半轴 $0.6\,\mathrm{km}$

到时残差均方根 $0.101\,\mathrm{s}$

真实震中落在椭圆内 $95\,\%\ \text{of}\ 40$

逐个定位地震，再检验误差椭圆

P 到时噪声（s）

\sigma_{\mathrm P}

0.1

假设波速的误差（%）

\delta v/v

0

真实深度（km）

z_0

10

S 到时

拖动金色震源或任一台站；每次移动都会重新定位同一组固定种子的地震。

更多设置

噪声种子

s

3601

模型、单位与来源

$\Delta\mathbf m=\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G+\lambda\operatorname{diag}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf r,\qquad \mathbf C=\sigma^2\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1}$

平面图 100 km 见方；右侧深度剖面与平面图共用东西向坐标。

阅读本实验对应的课程章节

模型假设

均匀半空间，P 波速 6 km/s，S 波速 3.46 km/s（P 波速除以根号 3）；直射线，地表平坦。到时等于真实走时加上固定种子的高斯噪声，S 到时的噪声是 P 的两倍（假设）。定位用 Geiger 线性化最小二乘，加 Levenberg–Marquardt 阻尼，与 HYPO71 和 HYPOINVERSE 的做法相同。椭圆由线性化协方差和两个自由度的卡方分位数给出，因此不含模型误差；“速度模型错了”这一预设正是展示这种情况。网格搜索图是对同一失配函数的独立检验。

最新地震：到时与拟合的走时曲线

P 波到时与模型曲线
S 波到时与模型曲线

累计检验：椭圆包含真值的比例

模拟事件
名义值 0.95，及两倍标准误的波动带

最新估计附近的网格搜索失配

Geiger 估计及其 95% 椭圆
网格搜索最小值
真实震中

更多读数与模型记录

估计深度
真实深度
深度 95% 半宽
椭圆短半轴
椭圆长轴方位角
发震时刻误差
Geiger 迭代次数
使用的到时数
网格搜索与 Geiger 结果之差
假设的 P 波速

记录保存每个到时、估计位置、协方差，以及真值是否落在椭圆内。

继续学习：从地震波到反演的地震成像

先抓重点

核心问题: 几个台站的到时，怎样确定地震从哪里开始？又能有多大把握？
一句话直觉: 在试探位置附近线性化，问题就变成求一个小修正的最小二乘；重复几次即收敛。同一个矩阵还给出协方差和误差椭圆，但椭圆只在速度模型正确时才可信。

核心数学模型

均匀半空间中的走时

t_i=t_0+\frac{\sqrt{(x_i-x)^2+(y_i-y)^2+z^2}}{v}

台站 $i$ 位于地表， $v$ 是 P 波或 S 波的波速。

一步 Geiger 迭代

\mathbf G\,\Delta\mathbf m\approx\mathbf r,\qquad \Delta\mathbf m=\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G+\lambda\operatorname{diag}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf r

$\mathbf G$ 是各走时对四个未知数的偏导数， $\mathbf r$ 是残差。阻尼 $\lambda$ 只在完整一步会让失配变大时才增大，试探点偏得远时，前几步因此不会跨得太大。

95% 震中椭圆

\mathbf C=\sigma^2\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1},\qquad \Delta\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf C_{xy}^{-1}\Delta\mathbf x\le\chi^2_{2}(0.95)=5.99

协方差的水平分块定义一个椭圆；半轴等于其特征值平方根的 2.45 倍。

常见难点

深度最难定

容易误解震中定得准，深度也一定准。

正确理解台站都很远时，深度与发震时刻相互抵换。S 到时或离震中近的台站能打破这种抵换；试试“只有 P 到时：深度松动”。

动手实验

01
老实检验椭圆
从“环形台网：椭圆很小”开始，看覆盖率图逐渐填满。
你会看到： 每 100 个真实震中约有 95 个落在各自的椭圆里，处于抽样波动带之内。
02
把台站移到一侧
选“台站都在一侧”，或自己把台站拖到左边。
你会看到： 椭圆沿台网到地震的方向被拉长：方向比距离约束得好。
03
让速度模型出错
选“速度模型错了”，再把波速误差拉回零。
你会看到： 波速错 5% 时椭圆看上去仍然很小，但包含真值的比例低于 95%。椭圆只衡量到时噪声。

用到时给地震定位，以及误差椭圆