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Sandbox Physics
地震成像 · 边学边做实验

L2 · 第 6 章

走时层析成像与分辨率矩阵

每条射线穿过网格中的几个单元，它的延迟是沿途各单元慢度变化之和，每一项按射线在该单元内的长度加权。许多射线构成一个线性方程组。独立方程通常少于未知量，有些图样在数据里根本不留痕迹。层析图像因此只是许多可能解中挑出的一个，分辨率矩阵则记录这种挑法怎样把真实结构抹模糊。

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每个延迟都是射线所穿单元之和

把区域分成单元，每个单元有一个常数慢度扰动，即相对背景的波速倒数变化。如果射线是直线、扰动很小，一条射线的延迟就是各单元内射线长度乘以该单元扰动再求和。MIT 12.201 讲义第 4.19 节就是这样写这个方程组的，矩阵元素是路径长度。

Rawlinson 和 Spakman 把同一个方程组写成式 6，并列出误差项包含的内容：读数误差、正演理论误差、线性化误差，以及用单元描述连续地球带来的误差。层析实验的延迟是沿每条射线对光滑异常体直接积分得到的，所以数据里也带着最后这种误差。

di=∑jGij mj+ϵi,Gij=射线 i 在单元 j 内的长度d_i=\sum_j G_{ij}\,m_j+\epsilon_i,\qquad G_{ij}=\text{射线 } i \text{ 在单元 } j \text{ 内的长度}

阻尼与光滑选出一个解

没有任何射线能看到的图样构成矩阵的零空间。把它们加到模型上，所有延迟都不变，所以单凭数据挑不出模型。通常的办法是在失配之外加罚项：一项惩罚模型的大小，叫阻尼；一项惩罚模型的起伏，叫光滑。Rawlinson 和 Spakman 的式 7 写出了这个代价函数，式 9 给出相应的广义逆。

层析实验的阻尼权重和光滑权重都用对数刻度设定，再乘以数据项对角元的平均值，这样同一个滑块位置对任何射线布局含义都相同。

S(m)=(d−Gm)TCd−1(d−Gm)+ε2mTm+η2mTDTDm,m^=G−gdS(\mathbf m)=(\mathbf d-\mathbf G\mathbf m)^{\mathsf T}\mathbf C_d^{-1}(\mathbf d-\mathbf G\mathbf m)+\varepsilon^2\mathbf m^{\mathsf T}\mathbf m+\eta^2\mathbf m^{\mathsf T}\mathbf D^{\mathsf T}\mathbf D\mathbf m,\qquad \hat{\mathbf m}=\mathbf G^{-g}\mathbf d

分辨率矩阵把真实结构映射成图像

把真实模型代入解的表达式，图像等于分辨率矩阵乘真实模型，再加上广义逆作用在误差上的部分（Rawlinson 和 Spakman 式 10 至 13）。如果分辨率矩阵是单位矩阵，每个单元都能被准确恢复。实际上它的每一行都是一种模糊，表示哪些真实单元会漏进图像中的某一个单元。

噪声项是另一回事。它的分散程度由式 14 的模型协方差描述，只取决于假定的数据误差和广义逆，与数据本身无关。一个模型的分辨率矩阵可以很接近单位矩阵，图像却被噪声主导。

合成检验用同一个矩阵和同一个广义逆，去反演由虚构模型算出的无噪声延迟。按式 16，输出就是分辨率矩阵乘虚构模型。棋盘检验和尖峰检验能揭示分辨率矩阵的性质，原因就在这里。

m^=R mtrue+G−gϵ,R=G−gG,CM=G−gCd(G−g)T\hat{\mathbf m}=\mathbf R\,\mathbf m_{\rm true}+\mathbf G^{-g}\boldsymbol\epsilon,\qquad \mathbf R=\mathbf G^{-g}\mathbf G,\qquad \mathbf C_M=\mathbf G^{-g}\mathbf C_d\big(\mathbf G^{-g}\big)^{\mathsf T}

一种检验图样看不全所有模糊

棋盘检验可能恢复得很完美，较大的结构却丢掉了。Rawlinson 和 Spakman 引用了 Lévêque 等人的一个理想化实验：射线完全相同，细棋盘被完美恢复，粗棋盘却几乎整个落在零空间里。棋盘恢复得好，只说明这种图样能被分辨；恢复不好，才说明分辨率不足。

在层析实验中，台站环绕四周时，棋盘检验的图样相关为 0.899，高于两个光滑异常体的 0.724。检验图样看上去比真正的目标分辨得更好。

完整例题

四个单元里藏着一个图样

取四个边长 1 km 的正方形单元，先从左到右编上排，再编下排。两条水平射线沿两行走，两条竖直射线沿两列走，每条射线在两个单元里各走 1 km。

四个延迟分别是上排之和、下排之和、左列之和、右列之和。图样“正一、负一、负一、正一”沿每条射线相加都为零。它在零空间里，所以矩阵的秩是 3，而不是 4。

最小长度解把这个图样投影掉，分辨率矩阵等于单位矩阵减去归一化零向量的外积。只在左上单元放一个 0.0100 s/km 的慢度异常，数据是：上排射线和左列射线各 0.0100 s，另两条为零。恢复出的模型是左上 0.0075，两个相邻单元各 0.0025，对角的那个单元是负 0.0025：尖峰只恢复了四分之三，其余被抹成一个十字。

再加一条从左上角到右下角的对角射线。它在两个对角单元里各走 1.41 km。加入隐藏图样会改变它的延迟，于是零空间消失，尖峰被准确恢复。

n=12(1,−1,−1,1),R=I−nnT,R (0.0100,0,0,0)=(0.0075, 0.0025, 0.0025, −0.0025) s/km\mathbf n=\tfrac12(1,-1,-1,1),\quad \mathbf R=\mathbf I-\mathbf n\mathbf n^{\mathsf T},\quad \mathbf R\,(0.0100,0,0,0)=(0.0075,\ 0.0025,\ 0.0025,\ -0.0025)\ \mathrm{s/km}

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 在层析实验中比较“台站环绕四周”和“两口井：水平拖尾”。预测两口井的图像会把异常体沿哪个方向拖长。
  2. 选择“两口井：水平拖尾”，拖动绿色探查格扫过整个区域。
  3. 用两口井之间射线的方向解释拖尾的方向。
反演射线延迟，探查分辨率

这些实验使用平坦、各向同性的弹性或声学岩石，波速是虚构但接近实际的数值，都不对应真实的观测。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

试着自己解释

1. 在四单元的例子里，哪一种数据组合与模型无关？

展开答案与解释

两条行射线的延迟之和等于两条列射线的延迟之和，因为两者都等于四个单元之和。正是这一个冗余让秩停在 3。

2. 实验预设“不加阻尼：噪声占上风”的分辨率对角元平均值是 0.586，比默认的 0.422 高，图样相关却只有 0.031。两者怎么能同时成立？

展开答案与解释

分辨率矩阵只描述图像的第一项，即被模糊的真实结构。把阻尼和光滑都降到千分之一，让它更接近单位矩阵，但广义逆会放大 80 ms 的读数噪声。由模型协方差衡量的噪声项淹没了图像。

3. 为什么合成检验必须使用与真实反演相同的矩阵和广义逆？

展开答案与解释

只有这样，输出才是同一个分辨率矩阵乘检验模型，如式 16 所示。换一组射线或换一种正则化，检验的就是另一个分辨率矩阵。

可以放在旁边读的来源

  1. MIT OpenCourseWare, 12.201 Essentials of Geophysics (Fall 2004), lecture notes, Chapter 4: Seismology

    第 4.6 节把弹性波动方程分成 P 波和 S 波，并给出两者的波速（式 4.34 和 4.37）。第 4.14 至 4.16 节由 Fermat 原理推出 Snell 定律（式 4.91 至 4.96），并说明射线参数就是走时曲线的斜率（式 4.98）。第 4.19 节提到，走时层析中矩阵的元素就是射线在各小块里的长度。

  2. N. Rawlinson and W. Spakman, On the use of sensitivity tests in seismic tomography, Geophysical Journal International 205, 1221–1243 (2016)

    第 2 节写出阻尼最小二乘解和分辨率矩阵（式 7 至 14），并证明无噪声的合成检验采样的是同一个分辨率矩阵（式 16）。第 2.5 节列出八条推论。第 3 节在一个有 3844 个未知数的面波例子上比较棋盘检验和尖峰检验，最后给出六条建议。

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