L2 · 第 3 章

P 波在岩层界面上怎样分配能量

垂直入射时，P 波只会反射、透射成 P 波。只要斜着入射，它还会产生 S 波，一束向上、一束向下。四束波的角度由 Snell 定律给出。振幅则来自一个要求：界面两侧的岩石一起运动，互相施加的力大小相等。把振幅换算成能流，四份能量之和总等于入射能量。

Sandbox Physics · 2026-10-30

进去一束 P 波，出来四束波

光打到玻璃上，出来的还是光，类型不变。地震波不同。入射的 P 波，或者振动方向在射线平面内的 SV 波，只要斜着入射，反射和透射时都会同时产生 P 波和 SV 波。Saavedra 和 Moro 在第 2 节特别指出了这一点。水平偏振的 SH 波自成一类，这里不讨论。

入射 P 波因此对应四个未知的出射振幅：反射 P、反射 S、透射 P、透射 S。它们的角度已经由上一章的共同射线参数定好了。

四个连续条件定出四个振幅

焊接在一起的两种岩石既不能滑动，也不能分开，所以界面两侧的水平位移和竖直位移必须相同。根据牛顿第三定律，穿过界面的牵引力（单位面积上的力）也必须相等，法向分量和剪切分量都要相等。

Saavedra 和 Moro 在附录 2 的式 A2.1 至 A2.4 写出这四个条件，再用 Snell 定律化成关于四个振幅的线性方程组，即式 A2.5 至 A2.8。这就是 Zoeppritz 方程。界面实验在每个角度都把这四个方程当作 4 元复线性方程组来解。Weibull 和 Ahmed 的附录 A 给出了反射 P 波和反射 S 波系数的解析表达式（式 36 至 40）。按这组式子另写的程序算出的转换 S 波（式 37）与实验的求解结果一致到舍入误差。反射 P 波（式 36）则要把分子中正比于射线参数平方的那一项改变符号，两者才一致，看来是第 2 版印出的式子有符号笔误。

\big[u_x\big]_{z=0}=\big[u_z\big]_{z=0}=\big[\sigma_{zz}\big]_{z=0}=\big[\sigma_{xz}\big]_{z=0}=0

正对着入射，答案很简短

垂直入射时，界面上没有剪切，不产生 S 波，只剩两个条件。结果只取决于两种岩石的声阻抗，即密度乘 P 波速。Saavedra 和 Moro 的式 1 给出了反射系数。

单看阻抗，分不出密度和波速各自的贡献：两种岩石阻抗相同，即使波速不同，垂直入射也毫无反射。斜入射时波速会单独起作用，所以振幅随角度的变化带有额外的信息。他们的图 1b 展示的正是这种情况。

R=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad T=\frac{2Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad Z=\rho\alpha

要算能流，不能只看振幅

振幅比大于一，并不说明能量被凭空造了出来，因为能流还取决于密度、波速和方向。平面波穿过界面输送能量，速率正比于密度、波速、传播角余弦和振幅平方。把每束出射波的能流除以入射能流，四个比例之和等于一。

超过临界角的波沿界面传播，振幅离开界面就衰减。它不把能量送过界面，能量比例为零，尽管振幅不为零。

E_k=\frac{\rho_k\,c_k\cos\theta_k}{\rho_1\,\alpha_1\cos i_1}\,\lvert A_k\rvert^2,\qquad E_{\rm RP}+E_{\rm RS}+E_{\rm TP}+E_{\rm TS}=1

完整例题

在两个角度上分配能量

用界面实验的第一个预设：上层岩石密度每立方米 2100 kg，P 波速 2000 m/s；下层每立方米 2500 kg，4000 m/s。两者的声阻抗分别是每平方米每秒 420 万和 1000 万千克，记作 4.20 和 10.0（单位：百万千克每平方米每秒）。

垂直入射时，反射系数是 5.80 除以 14.2，得 0.4085；透射系数是 8.40 除以 14.2，得 0.5915。反射能量是 0.4085 的平方，即 0.167；透射能量是阻抗比 2.381 乘 0.5915 的平方，即 0.833。两者相加等于一。

把入射角调到实验默认的 40 度。这已超过 30 度的临界角，透射 P 波的能量比例为零。解那个 4 元方程组，得到反射 P 波 0.143、反射 S 波 0.420、透射 S 波 0.437，合计 1.000。进来的只有 P 波，出去的能量却一半以上是 S 波。

R=\frac{10.0-4.20}{10.0+4.20}=0.408,\quad R^2+\frac{Z_2}{Z_1}T^2=0.167+0.833=1;\qquad 40^\circ:\ 0.143+0.420+0+0.437=1.000

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

在界面实验里选“P 波转成 S 波”，把入射角调到零。预测两个 S 波的能量比例；再预测角度升到 40 度时它们是变大还是变小。
把入射角升到 40 度，观察能量分配图。
解释为什么 S 波的比例从零开始，以及为什么这个预设里反射 P 波的比例在各个角度都很小。

在岩层界面上把一束 P 波分成四束

这些实验使用平坦、各向同性的弹性或声学岩石，波速是虚构但接近实际的数值，都不对应真实的观测。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

试着自己解释

1. 证明垂直入射时，反射和透射的能量比例之和为一。

展开答案与解释

把两项都写成以阻抗之和的平方为分母。反射项分子是阻抗差的平方，透射项分子是阻抗积的 4 倍。差的平方加上 4 倍的积，正好是和的平方，所以总和为一。

\frac{(Z_2-Z_1)^2+4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}=1

2. Saavedra 和 Moro 的图 1b 中，两种介质阻抗相同、P 波速不同。为什么垂直入射没有反射，斜入射却有？

展开答案与解释

垂直入射时只有阻抗起作用，而阻抗相等。斜入射时，透射波折到不同的角度，还会产生 S 波，边界条件里波速和刚度各自出现，不加一束反射波就无法平衡。

3. “海水覆盖岩石”预设在 45 度时，有 0.054 的能量作为 P 波反射回去，没有能量作为 P 波进入岩石。其余的能量去了哪里？为什么？

展开答案与解释

对这组海水和岩石，P 波临界角是 35.2 度，45 度时透射 P 波是倏逝波。剩下的 0.946 以透射 S 波的形式进入岩石。水没有刚度，所以没有反射 S 波。

可以放在旁边读的来源

MIT OpenCourseWare, 12.201 Essentials of Geophysics (Fall 2004), lecture notes, Chapter 4: Seismology
第 4.6 节把弹性波动方程分成 P 波和 S 波，并给出两者的波速（式 4.34 和 4.37）。第 4.14 至 4.16 节由 Fermat 原理推出 Snell 定律（式 4.91 至 4.96），并说明射线参数就是走时曲线的斜率（式 4.98）。第 4.19 节提到，走时层析中矩阵的元素就是射线在各小块里的长度。
H. G. Saavedra and R. Moro, Zoeppritz equations: from seismology to medical exploration, Revista ECIPerú 22(2) (2025), arXiv:2510.26668v1
式 1 由两侧声阻抗给出垂直入射的反射系数。附录 2 写出入射 P 波（A2.1 至 A2.8）和入射 SV 波（A2.9 至 A2.12）的四个连续条件。第 3.2 节和图 3 展示超过临界角后反射子波的相位变化；皮肤到颅骨的临界角约为 40 度。
W. W. Weibull and N. Ahmed, Seismic amplitude-variation-with-offset inversion using an algebraically equivalent formulation of the exact Zoeppritz equations and a matrix-free adjoint-state framework, arXiv:2512.13172v2
附录 A 重述经典的 Knott–Zoeppritz 解（入射 P 波）：共同的射线参数（式 35），以及反射 P 波和转换 S 波系数的闭合表达式（式 36 至 40）。正文用伴随状态梯度和有限内存拟牛顿法拟合反射振幅。