固体岩石为什么有两种地震波

挤压岩石，它会顶回来；横着剪它，它也会顶回来。两种刚度各带一种波。挤压波叫 P 波，剪切波叫 S 波，P 波总比 S 波快。测出两种波速，就能算出岩石在这两方面有多硬。水根本没有抗剪刚度，只能传 P 波。

Sandbox Physics · 2026-10-30

岩块的两种变形

取一小块岩石，用力压它。它可能改变体积，像海绵被挤扁；也可能体积不变、只改变形状，像一叠扑克牌被横着推歪。各向同性固体的胡克定律说，应力与应变成正比，而且只需要两个常数，叫 Lamé 常数。

第二个常数是剪切模量，也叫刚度，衡量抗剪切的能力；在水里和外核的液态铁里它为零。第一个常数单独看没有直观含义，但它加上三分之二的刚度就是体积模量，衡量抵抗体积变化的能力。MIT 12.201 讲义的第 4.5 节讲了这些。

\sigma_{ij}=\lambda\,(\nabla\!\cdot\mathbf u)\,\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),\qquad \kappa=\lambda+\tfrac23\mu

把运动拆成挤压和剪切

把胡克定律代进每个小块的牛顿第二定律。对均匀岩石，得到一个关于位移的矢量方程。方程里混着两种效应，但可以拆开。

两边取散度。位移散度就是体积相对变化。它满足普通波动方程，波速平方等于第一 Lamé 常数加两倍刚度，再除以密度。这就是 P 波，岩石沿传播方向来回振动。

改取旋度。旋度衡量局部转动，它满足另一个波动方程，波速的平方等于刚度除以密度。这就是 S 波，岩石垂直于传播方向振动。MIT 讲义第 4.6 节的式 4.32 至 4.37 推出了这两个结果。用到的假设只有两条：应变很小；岩石处处相同、各个方向也相同。

\rho\,\ddot{\mathbf u}=(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\!\cdot\mathbf u)+\mu\nabla^2\mathbf u\ \Rightarrow\ \alpha=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}},\qquad \beta=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}}

完整例题

由两个波速读出岩石的刚度

界面实验第一个预设里，下层岩石的 P 波速是 4000 m/s，S 波速是 2200 m/s，密度是每立方米 2500 kg。把波速公式倒过来用，求它的弹性常数。

刚度等于密度乘 S 波速的平方：2500 乘 2200 的平方，得 12.1 GPa。密度乘 P 波速的平方，得到第一个 Lamé 常数加两倍刚度，即 40.0 GPa。减去两倍刚度 24.2 GPa，第一个 Lamé 常数是 15.8 GPa。体积模量是 15.8 加 12.1 的三分之二，等于 23.9 GPa。

泊松比描述岩石被拉长时横向收缩多少，它只取决于两个波速之比。这里 P 波速是 S 波速的 1.818 倍，泊松比是 0.283。同一预设的上层岩石是 2000 m/s 和 1000 m/s，波速比正好是 2，泊松比是三分之一。

最后一个预设里的海水，P 波速 1500 m/s，密度每立方米 1000 kg。体积模量是 2.25 GPa，刚度为零，所以 S 波速为零：S 波在水里传不动。

\nu=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}=\frac{\alpha^2-2\beta^2}{2(\alpha^2-\beta^2)},\qquad \frac{\alpha}{\beta}=\frac{4000}{2200}=1.818\ \Rightarrow\ \nu=0.283

P 波为什么总是先到

把两个波速公式相除，波速比的平方等于 2 加上第一个 Lamé 常数与刚度之比。稳定的固体体积模量为正，第一个 Lamé 常数就大于负三分之二倍刚度，于是波速比的平方大于三分之四，P 波总比 S 波快。地壳岩石的波速比接近根号 3，这正是两个 Lamé 常数相等时的值；定位实验就取这个比值。

两种波同时从震源出发、速度不同，到达的时间差就随距离增大。这个时间差是判断地震发生在哪里的第一条线索，定位那一章会用到它。

\frac{\alpha^2}{\beta^2}=2+\frac{\lambda}{\mu}>\frac43\quad\text{when}\quad \kappa=\lambda+\tfrac23\mu>0

先预测，再改变，最后解释

在界面实验里选“超过临界角”，先只看 P 波场，再只看 S 波场。预测：在下层岩石里哪个波前跑在前面，大约快多少倍？

选“海水覆盖岩石”，只看 S 波场。

解释为什么水里没有 S 波前移动，下面的岩石里却仍有 S 波前。

这些实验使用平坦、各向同性的弹性或声学岩石，波速是虚构但接近实际的数值，都不对应真实的观测。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

试着自己解释

1. 某花岗岩 P 波速 6.0 km/s，S 波速 3.5 km/s，密度每立方米 2700 kg。求它的刚度和泊松比。

展开答案与解释

刚度是 2700 乘 3500 的平方，即 33.1 GPa。泊松比用 km/s 计算：P 波速平方减两倍 S 波速平方，是 36 减 24.5，得 11.5；两个平方之差的两倍是 23.75 的两倍，得 47.5。二者相除得 0.242。

2. 证明两个 Lamé 常数相等时，波速比是根号 3，泊松比是四分之一。

展开答案与解释

两常数相等时，P 波速的平方是刚度除以密度的 3 倍，S 波速的平方是刚度除以密度，二者之比为 3。泊松比等于第一个常数除以两常数之和的两倍，即 1 除以 4，得四分之一。

\lambda=\mu\ \Rightarrow\ \frac{\alpha}{\beta}=\sqrt3,\quad \nu=\frac{\mu}{2(2\mu)}=\frac14

3. 地球另一侧的台站记录到穿过地核的 P 波，却没有直接穿过地核的 S 波。这说明外核是什么状态？

展开答案与解释

S 波需要刚度。外核如果没有刚度，就是流体，S 波过不去。MIT 讲义给出外核液态铁的刚度为零。

可以放在旁边读的来源

MIT OpenCourseWare, 12.201 Essentials of Geophysics (Fall 2004), lecture notes, Chapter 4: Seismology

第 4.6 节把弹性波动方程分成 P 波和 S 波，并给出两者的波速（式 4.34 和 4.37）。第 4.14 至 4.16 节由 Fermat 原理推出 Snell 定律（式 4.91 至 4.96），并说明射线参数就是走时曲线的斜率（式 4.98）。第 4.19 节提到，走时层析中矩阵的元素就是射线在各小块里的长度。

H. G. Saavedra and R. Moro, Zoeppritz equations: from seismology to medical exploration, Revista ECIPerú 22(2) (2025), arXiv:2510.26668v1

式 1 由两侧声阻抗给出垂直入射的反射系数。附录 2 写出入射 P 波（A2.1 至 A2.8）和入射 SV 波（A2.9 至 A2.12）的四个连续条件。第 3.2 节和图 3 展示超过临界角后反射子波的相位变化；皮肤到颅骨的临界角约为 40 度。