地震波的 Snell 定律与临界角

射线进入更快的岩石，会偏离竖直方向。偏到一定程度，透射波就不再进入岩石，而是贴着界面走：这时的入射角就是临界角。有一个量对每束反射、透射和转换波都相同，就是水平慢度，它一下子定出了所有的角度。

Sandbox Physics · 2026-10-30

最快的路径在界面上拐弯

所有角度都从竖直方向量起，也就是从平直界面的法线量起。一条射线从 P 点出发，到达 Q 点；P 所在岩石的波速是 c1，Q 所在岩石的波速是 c2。在每种岩石里它都走直线，唯一能变的是在界面上哪一点穿过。

Fermat 原理说，射线走的是走时取驻值的路径。把走时写成穿越点的函数，令导数为零，两个根号项就分别变成两个角的正弦，得到 Snell 定律。MIT 12.201 讲义第 4.14 节的式 4.91 至 4.94 就是这样推的。

t(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{c_1}+\frac{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}{c_2},\qquad \frac{dt}{dx}=0\ \Rightarrow\ \frac{\sin i_1}{c_1}=\frac{\sin i_2}{c_2}\equiv p

所有的波共用一个射线参数

p 叫射线参数，是慢度的水平分量，也就是波前沿界面扫过的速度的倒数。界面上产生的每束波都得和入射波沿界面步调一致，所以它们的 p 都相同，入射 P 波转换出来的 S 波也不例外。MIT 讲义第 4.15 节的式 4.95 写的就是这一点。

射线参数穿过一层层平直地层时保持不变，而且等于地表走时曲线的斜率（式 4.98）。两个相距已知的台站记下同一震相的到时，就直接测出了 p。

p=\frac{\sin i_1}{\alpha_1}=\frac{\sin j_1}{\beta_1}=\frac{\sin i_2}{\alpha_2}=\frac{\sin j_2}{\beta_2}=\frac{dT}{dx}

超过临界角，波就进不去了

下层岩石更快时，透射角比入射角大。到了临界入射角，透射角的正弦等于一，透射射线贴着界面走。再往大，Snell 定律就要求正弦大于一。

这束波并没有消失，但它的竖直慢度变成了虚数：振幅随离开界面的深度衰减，不再振荡，也不把能量带进下层岩石。MIT 讲义的插叙 4.4 对沿自由表面传播的波算过这一点（式 4.104 至 4.106）。Saavedra 和 Moro 在第 3.2 节说明，超过临界角后反射波获得一个相移，所以反射子波的形状会变。

一束以下层波速沿界面传播的波，会不断以临界角把能量送回上方。上面的接收器把它记成首波。离震源足够远时，它比直达波先到，因为它的大部分路程是在快岩石里走的。

\sin i_{\rm c}=\frac{\alpha_1}{\alpha_2},\qquad q_2=\sqrt{\frac{1}{\alpha_2^2}-p^2}=\mathrm i\sqrt{p^2-\frac{1}{\alpha_2^2}}\quad\text{for}\quad p>\frac{1}{\alpha_2}

完整例题

一个界面上的角度与首波走时

界面实验第一个预设：上层岩石 P 波速 2000 m/s、S 波速 1000 m/s，下层是 4000 m/s 和 2200 m/s。透射 P 波的临界角满足正弦等于 2000 比 4000，即 30.0 度。透射 S 波也比入射 P 波快，所以它也有临界角，正弦是 2000 比 2200，即 65.4 度。

实验默认入射角是 40 度，射线参数等于 40 度的正弦除以 2000 m/s，即 0.3214 s/km。反射 S 波以 18.7 度离开，透射 S 波以 45.0 度离开。透射 P 波需要的正弦是 1.29，所以它是倏逝波：实验显示透射 P 波能量为零。

再设想震源和一排接收器放在这个界面上方 750 m 的平地上。首波以临界角向下，以 4000 m/s 沿界面走，再折回地面。它的到时等于距离除以 4000 m/s，再加上固定的 0.650 s。它在离震源 866 m 处才开始出现，超过 2.60 km 后就比直达波先到。

t_{\rm head}(x)=\frac{x}{\alpha_2}+\frac{2h\cos i_{\rm c}}{\alpha_1}=\frac{x}{4000\ \mathrm{m/s}}+0.650\ \mathrm s,\qquad x_{\rm cross}=\frac{0.650\ \mathrm s}{1/2000-1/4000\ \mathrm{s/m}}=2.60\ \mathrm{km}

先预测，再改变，最后解释

在界面实验里选“超过临界角”，把入射角从 10 度扫到 40 度。预测透射 P 波能量在多大角度降为零。

把下层岩石的 P 波速降到 3000 m/s，再扫一遍。

用上面的正弦关系解释：临界角移到了哪里，为什么。

这些实验使用平坦、各向同性的弹性或声学岩石，波速是虚构但接近实际的数值，都不对应真实的观测。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

试着自己解释

1. Saavedra 和 Moro 模拟超声从皮肤（1615 m/s）进入颅骨（2500 m/s）。P 波临界角在哪里？

展开答案与解释

临界角的正弦是 1615 比 2500，即 0.646，角度是 40.2 度。他们的图 3 也指出约 40 度之后波形开始变化。

2. 一条射线以 20 度离开一组地层的最上层，各层波速依次为 2、3、5 km/s。它在每层里的角度是多少？

展开答案与解释

射线参数是 20 度的正弦除以 2 km/s，即 0.171 s/km。在 3 km/s 的层里正弦是 0.513，角度 30.9 度；在 5 km/s 的层里正弦是 0.855，角度 58.8 度。

p=\frac{\sin20^\circ}{2}=0.171\ \mathrm{s/km},\quad i=\arcsin(3p)=30.9^\circ,\quad \arcsin(5p)=58.8^\circ

3. 地表两个台站相距 10 km，记录到的同一个 P 波到时相差 1.0 s。台站下方岩石的 P 波速是 6 km/s。这束波以多大角度到达？

展开答案与解释

射线参数等于时间差除以距离，0.10 s/km。入射角的正弦等于波速乘 p，即 0.60，所以波以偏离竖直方向 36.9 度的角度上来。

可以放在旁边读的来源

MIT OpenCourseWare, 12.201 Essentials of Geophysics (Fall 2004), lecture notes, Chapter 4: Seismology

第 4.6 节把弹性波动方程分成 P 波和 S 波，并给出两者的波速（式 4.34 和 4.37）。第 4.14 至 4.16 节由 Fermat 原理推出 Snell 定律（式 4.91 至 4.96），并说明射线参数就是走时曲线的斜率（式 4.98）。第 4.19 节提到，走时层析中矩阵的元素就是射线在各小块里的长度。

H. G. Saavedra and R. Moro, Zoeppritz equations: from seismology to medical exploration, Revista ECIPerú 22(2) (2025), arXiv:2510.26668v1

式 1 由两侧声阻抗给出垂直入射的反射系数。附录 2 写出入射 P 波（A2.1 至 A2.8）和入射 SV 波（A2.9 至 A2.12）的四个连续条件。第 3.2 节和图 3 展示超过临界角后反射子波的相位变化；皮肤到颅骨的临界角约为 40 度。