拟合整条波形
走时层析对每条射线只保留一个数，波形反演保留每一道的每一个采样点。Yang、Engquist、Sun 和 Froese 在式 1 写出标准的失配：对所有接收器，把模拟数据与观测数据之差的平方对时间积分，再取一半。
每算一次失配，每个震源都要做一次波场模拟。波形实验在 60 乘 60 的网格上求解声波方程，四周加吸收边界，模型共有 3600 个未知波速。观测数据来自空间和时间步长都减半的细网格，所以反演从不拟合由自身离散格式生成的数据。
一次反传模拟给出整个梯度
有限差分梯度每次扰动一个波速，再重跑一次模拟，计算量随未知量个数增长。伴随状态法则把波动方程乘上一个乘子场加到失配里，分部积分，再选取乘子场，让所有含波场未知变化的项都消失。
这样选出的乘子场本身满足一个波动方程：在接收器处由数据残差驱动，从终止时刻倒着往回算。两个波场都算出后，每一点的梯度就是伴随场乘以正演场拉普拉斯项的时间积分。每个震源只需一次正演和一次伴随模拟，与未知量个数无关。
Weibull 和 Ahmed 在第 4.2 节对一个有 180 个未知量的振幅反演做了同样的比较。伴随梯度只花两次正演的计算量；有限差分每个未知量大约要两次正演，而且即使取最佳步长，也只和伴随梯度吻合到约百亿分之一。波形实验用的是自身时间步进格式的精确伴随，有限差分和点积检验都确认了这个梯度。
半个周期决定你拟合的是哪一个周期
取一个记录到的子波和一个时间上平移了的模拟子波。最小二乘失配逐点比较两者。只要平移小于半个周期，减小平移就会减小失配。一旦超过半个周期，模拟波峰和下一个记录波峰对得更齐，失配在那里出现一个局部极小。Yang 等人在第 4.1 节用两个平移的 Ricker 子波展示了这一点，并指出最小二乘的伴随震源只修正振幅差，这正是周期跳跃的根源。
他们在第 4.2 节重做了 Camembert 检验：半径 0.6 km、波速 3.6 km/s 的圆盘，放在 3.0 km/s 的岩石中；震源是 10 Hz 的 Ricker 子波，去掉了 2 Hz 以下的频率；11 个震源、201 个接收器；初始模型是均匀的 3.0 km/s。最小二乘在 100 次 L-BFGS 迭代后停在一个局部极小；他们的最优输运失配对时移是凸的（定理 2），10 次迭代就收敛了。
从半个周期较长的地方开始
更早的办法是保留最小二乘、改变数据：先反演低频。Yang 等人在引言里也提到了这种做法。频率越低，周期越长，同样的走时误差只占它的一小部分。低频模型消除了大部分时延之后，高频段的起点就落在半个周期以内了。
波形实验从均匀模型出发，两种结果都能看到。只用 10 Hz 时，十次迭代后参与拟合的接收器失配降到起始值的 46%，模型误差却升到 121%，剩余时延增加到 1.89 个半周期：拟合在变好，模型却离真值越来越远。先用 4 Hz 时，模型误差降到 49%；再在 10 Hz 迭代十次，失配降到约 1%，模型误差降到 39%。
完整例题
实验圆盘的时延、半周期和计算量
实验中的圆盘半径 0.4 km、波速 4 km/s，周围岩石 3 km/s。一条竖直路径穿过圆心，在圆盘内走 0.8 km；按均匀初始模型计算，这条路径慢了 0.8 乘以三分之一减四分之一，即十五分之一秒，0.0667 s。Camembert 圆盘的时延恰好相同：1.2 km 乘以三分之一减 3.6 分之一。
10 Hz 时半个周期是二十分之一秒，时延等于三分之四个半周期，即 1.33，均匀初始模型违反了半周期准则。4 Hz 时半个周期是八分之一秒，比值为十五分之八，即 0.533。频率为 7.5 Hz 时比值正好等于一。
这条准则是警示线，不是截然的边界。穿过圆心的路径时延最大，擦过圆盘边缘的射线时延要小一些。用实验的模型从均匀初始模型出发，只用一个频段，各迭代十次：4、5、7、8 Hz 结束时剩余时延都不到 0.06 个半周期，6 Hz 停在 0.37 个半周期，10 Hz 则发生了周期跳跃。
实验有 5 个震源、3600 个未知波速。单侧有限差分梯度对每个震源要做一次基准模拟，再为每个波速做一次扰动模拟，共 18005 次。伴随梯度每个震源只需一次正演、一次反传，共 10 次。