FR36-D · 伴随梯度、频段与留出数据

伴随法全波形反演与周期跳跃

波形反演为什么需要低频数据或好的初始模型？ 因为拟合比较的是波形的起伏。如果初始模型预测的波与实测波错开超过半个周期，修正就会对准错误的那个波峰，拟合停在错误的模型上。低频的周期更长，所以先用低频，或从已经接近真实的模型出发，就能避开这种情况。

震源在上、接收器在下，中间的岩块里藏着一个高速圆盘。每一步都用伴随梯度去拟合记录到的波形。直接从高频开始，拟合会卡住；先用低频，圆盘就显现出来。

失配：参与反演的接收器 $100\,\%$

失配：留出的接收器 $100\,\%$

模型误差 $100\,\%$

圆盘时延除以半周期 $0.533$

拟合波形，留意周期跳跃

最后频段的峰值频率（Hz）

f_0

10

圆盘波速（km/s）

v_{\mathrm{disc}}

4

初始模型

频段

拖动圆盘；数据会重新记录，反演从头开始。

更多设置

数据噪声（占均方根的 %）

\sigma_d

2

噪声种子

s

3641

模型、单位与来源

$\frac{\partial J}{\partial\kappa}=\sum_n a\,\Delta t^2\,\left(\nabla_h^2u^n\right)\lambda^{n+1},\qquad \kappa=v^2$

岩块 1.5 km 见方；圆盘半径 0.4 km。

阅读本实验对应的课程章节

模型假设

二维常密度声波，60 行 60 列网格、单元 25 m，外围有吸收层，空间四阶、时间二阶。观测数据由同一方程在空间和时间都加密一倍的网格上算出，再加 2% 固定种子噪声，所以反演没有重复使用自己的离散。每个频段用 Ricker 子波，并去掉峰值频率一半以下的成分，模拟野外数据缺少最低频率。梯度是求解器的精确离散伴随（已与有限差分核对）。优化器是带光滑预条件和回溯线搜索的 L-BFGS；每四个接收器留出一个，从不参与拟合。几何参照 Yang、Engquist、Sun 与 Froese（2016）的 Camembert 检验，按比例缩小。

数据：一炮的观测波形与预测波形

观测
观测（留出）
当前模型的预测

重建结果：当前速度模型

真实圆盘轮廓

失配与模型误差随迭代的变化

失配，参与反演的接收器
失配，留出接收器
模型误差

更多读数与模型记录

当前频段峰值频率
频段保留的最低频率
峰值频率的半周期
已完成迭代
正在计算
数据噪声
线搜索失败

记录保存每次迭代的失配与模型误差，以及真实和重建的速度网格。

继续学习：从地震波到反演的地震成像

先抓重点

核心问题: 波形反演为什么需要低频数据或好的初始模型？
一句话直觉: 最小二乘波形失配有许多个谷。预测波与观测波错开超过半个周期时，梯度指向错误的那个周期。更低的频率或更好的初始模型，会把包含真值的那个谷变宽。

核心数学模型

最小二乘波形失配

J(\mathbf v)=\tfrac12\sum_{s}\sum_{r}\sum_{n}\left(u_{s}(\mathbf x_r,t_n;\mathbf v)-d_{s}(\mathbf x_r,t_n)\right)^2

对震源 $s$ 、参与拟合的接收器 $r$ 和时间采样 $n$ 求和。留出的接收器不进入 $J$ ，只用来检验结果。

离散伴随与梯度

\lambda^{n}=\left(2\mathbf I+\Delta t^2\nabla_h^2\mathbf K\right)(a\lambda^{n+1})-ab\,\lambda^{n+2}+r^{n},\qquad \frac{\partial J}{\partial\kappa}=\sum_n a\,\Delta t^2\,(\nabla_h^2u^n)\,\lambda^{n+1}

伴随场 $\lambda$ 由接收器处的残差 $r^n$ 驱动，倒着时间传播。 $\mathbf K$ 存放波速平方 $\kappa=v^2$ ， $a$ 、 $b$ 是吸收层系数。这个格式恰好是时间推进的转置，所以它给出的梯度与有限差分在舍入误差内一致。

何时出现周期跳跃

\lvert\Delta t\rvert>\frac{T}{2}=\frac{1}{2f}

时延大于半个周期，预测波就会与观测波相邻的那个周期对齐。

常见难点

失配下降不等于模型变好

容易误解只要波形失配在下降，模型就一定在接近真值。

正确理解在周期跳跃预设中，失配下降而模型误差增大。需要留出的接收器和对初始模型的检验，才能分辨两者。

动手实验

01
从高频开始
选“只用高频：周期跳跃”，看模型误差曲线。
你会看到： 失配降到起始值的一半左右，模型误差却升到了起点之上：拟合正滑进一个错误的谷。
02
先低频，再高频
选“先低频，后高频”，把重建结果与虚线圆盘比较。
你会看到： 4 Hz 频段先恢复出一个平滑的高速团，10 Hz 频段再让它变清晰，留出接收器的失配也随拟合失配一起下降。
03
给一个好的起点
选“好的初始模型”。
你会看到： 从模糊的真值出发，只用 10 Hz 也能收敛，因为剩下的时延已经远小于半个周期。

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