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Sandbox Physics
相对论测量 · 边学边做实验

L3 · 第 7 章

四动量与所有参考系都认同的质量

不同参考系的观察者，对粒子的能量和动量说法不一，正如他们对时间和距离说法不一。这两个量一起变换，就像时间和位置在洛伦兹变换下一起变；它们有一个组合在每个参考系里都一样。对一组粒子，这个组合就是不变质量：碰撞能否造出新粒子由它决定，探测器认出衰变的是什么粒子也靠它。

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能量和动量一起变

质量为 mm、速度为 vv 的粒子，能量 E=γmE=\gamma m，动量 p=γmvp=\gamma m v。沿同一直线以 β\beta 运动的参考系，用第 3 章作用在 (t,x)(t,x) 上的同一个变换把它们混在一起。这是 PDG 运动学综述式 (49.1) 的一维情形。

时间和位置保持间隔不变；能量和动量保持 E2−p2E^2-p^2 不变。对单个粒子，这个数就是质量的平方，所以任何参考系都认得出这是什么粒子。

E′=γ (E−βp),p′=γ (p−βE),E′2−p′2=E2−p2=m2E'=\gamma\,(E-\beta p),\qquad p'=\gamma\,(p-\beta E),\qquad E'^2-p'^2=E^2-p^2=m^2

系统的质量不是各部分质量之和

把系统里各粒子的能量和动量分别相加，再做同样的组合，结果 MM 叫作系统的不变质量。碰撞中能量和动量分别守恒，所以 MM 碰撞前后相同，在每个参考系里也相同。

在总动量为零的参考系，也就是质心系里，MM 就等于总能量。它既算上每个粒子的静能，也算上粒子之间相对运动的动能；碰撞能拿来造新粒子的，正是多出来的这一部分。

M2=(∑iEi)2−(∑ipi)2,βcm=∑ipi∑iEiM^2=\Bigl(\sum_i E_i\Bigr)^{2}-\Bigl(\sum_i p_i\Bigr)^{2},\qquad \beta_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_i p_i}{\sum_i E_i}

完整例题

运动变成质量

两个质量为 1 的团块相撞后粘在一起：一个静止，另一个带着动量 2 撞来。运动的团块 E1=1+4=2.236E_1=\sqrt{1+4}=2.236，总能量 3.236，总动量 2。

合并后的团块质量是 2.544，不是 2。多出的 0.544 原本是两个团块相对运动的动能，合并后成了内能，和别的质量一样有分量。合并团块以 0.618 的速度离开，这正是质心系的速度。

M=(2.236+1)2−22=2.544,βcm=23.236=0.618M=\sqrt{(2.236+1)^2-2^2}=2.544,\qquad \beta_{\mathrm{cm}}=\frac{2}{3.236}=0.618

完整例题

PDG 的例子：K 介子撞静止质子

PDG 综述算过这个例子：动量 0.80 GeV/c 的 K 介子撞上静止质子。用列表中的质量 mK=0.493677m_K=0.493677 和 mp=0.938272m_p=0.938272 GeV，K 介子的能量为 0.9401 GeV；式 (49.3) 给出质心系能量，式 (49.6) 给出质心系里每个粒子的动量。

综述给出的是 1.699 GeV 和 0.442 GeV/c，下式复现了这两个数。实验室里总能量为 1.878 GeV；质心系以 0.426 的速度运动，γcm=1.105\gamma_{\mathrm{cm}}=1.105（式 49.4 和 49.5）。

Ecm=(mK2+mp2+2EKmp)1/2=1.699 GeVpcm=plab mpEcm=0.80×0.9381.699=0.442 GeV/c\begin{gathered}E_{\mathrm{cm}}=\bigl(m_K^2+m_p^2+2E_K m_p\bigr)^{1/2}=1.699\,\mathrm{GeV}\\ p_{\mathrm{cm}}=\frac{p_{\mathrm{lab}}\,m_p}{E_{\mathrm{cm}}}=\frac{0.80\times0.938}{1.699}=0.442\,\mathrm{GeV}/c\end{gathered}

造一个反质子要多大的束流能量

电荷和重子数守恒，所以质子束打氢靶时，不能单独造出一个反质子，还得有东西补上它欠下的电荷和重子数，最轻的选择是再多一个质子。最轻的末态是三个质子加一个反质子，在质心系里全部静止，需要 M=4mp=3.753 GeVM=4m_p=3.753\,\mathrm{GeV}。

能量为 EE 的束流质子撞静止质子，M2=2mp2+2EmpM^2=2m_p^2+2Em_p。令它等于 16mp216m_p^2，得 E=7mpE=7m_p：动能 6mp=5.63 GeV6m_p=5.63\,\mathrm{GeV}，动量 6.50 GeV/c。总能量 6.57 GeV 里只有 3.75 GeV 变成质量，其余仍是整个系统的运动，因为动量必须守恒。

这个阈值是我们用上面的公式自己推出来的。让两束粒子迎头对撞，就能省掉大部分这种浪费，因为此时实验室就是质心系。

2mp2+2Emp=(4mp)2 ⇒ E=7mp,T=E−mp=6mp=5.63 GeV2m_p^2+2Em_p=(4m_p)^2\ \Rightarrow\ E=7m_p,\qquad T=E-m_p=6m_p=5.63\,\mathrm{GeV}

光子没有质量，一对光子却有

静止的中性 π 介子衰变成两个光子，各带 67.5 MeV 背向飞出。让 π 介子带上 0.3 GeV/c 的动量，沿飞行方向向前的光子带 0.314 GeV，向后的只带 0.0145 GeV。两者之和仍是 π 介子的能量 0.329 GeV，不变质量仍是 0.135 GeV。

单个光子质量为零，一对光子却可以有质量。两个 0.1 GeV 的光子迎头相遇，总动量为零，M=0.2 GeVM=0.2\,\mathrm{GeV}；同样两个光子并排同向飞，M=0M=0。探测器就靠这个求和来认粒子。它测出衰变产物的能量和方向，算出不变质量，再画成直方图；峰在哪里，衰变的就是什么粒子。粒子对撞机实验用教学生成器产生的 μ 子对，画出这样的质量谱。

Eγ±=12 (Eπ±pπ),Eγ+=0.314 GeV,Eγ−=0.0145 GeV,M2=2E1E2 (1−cos⁡θ)E_\gamma^{\pm}=\tfrac12\,(E_\pi\pm p_\pi),\quad E_\gamma^{+}=0.314\,\mathrm{GeV},\quad E_\gamma^{-}=0.0145\,\mathrm{GeV},\qquad M^2=2E_1E_2\,(1-\cos\theta)

接下来去哪里

“每个参考系都认同间隔和不变质量”，正是相对论性量子场论的起点。David Tong 的讲义第 1 章要求场论遵守洛伦兹不变性，第 2 章给单粒子态取的归一化，本身在每个参考系里都一样。这条路线的下一门课讲场论，就从这里接上。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 先预测：只换观察参考系时，四个读数里哪些保持不变？
  2. 在碰撞实验中从“K 介子撞上质子反弹”开始，把“观察参考系的速度”从一端拖到另一端；再选“刚好够产生一个反质子”。
  3. 解释：为什么“本参考系的总能量”和“本参考系的总动量”会变，“不变质量”不变；为什么反质子预设里“造出产物后剩余的能量”为零。
换着参考系看同一次碰撞 看探测器怎样重建一次碰撞

钟和双生子实验与这些章节一样，光速取每年一光年。碰撞实验使用 PDG 2024 的质量；粒子对撞机实验的事例来自教学生成器。

试着自己解释

1. 质子撞静止质子，生成两个质子加一个中性 π 介子，束流动能至少要多少？

展开答案与解释

末态需要 M=2mp+mπ=2.011 GeVM=2m_p+m_\pi=2.011\,\mathrm{GeV}。于是 E=(M2−2mp2)/(2mp)=1.218 GeVE=(M^2-2m_p^2)/(2m_p)=1.218\,\mathrm{GeV}，T=0.280 GeVT=0.280\,\mathrm{GeV}，p=0.777 GeV/cp=0.777\,\mathrm{GeV}/c。

2. 动量 p=0.3 GeV/cp=0.3\,\mathrm{GeV}/c 的 π 介子衰变。它的洛伦兹因子是多少？在 π 介子静止系里每个光子的能量是多少？

展开答案与解释

它的能量为 0.329 GeV，所以 γ=0.329/0.135=2.44\gamma=0.329/0.135=2.44。静止系里每个光子带走一半质量，67.5 MeV。

3. 两个质量为 1 的团块各带动量 2 迎面相撞并粘在一起。合并后的质量是多少？和本章固定靶的情形相比如何？

展开答案与解释

总动量为零，每个团块能量 2.236，所以 M=4.472M=4.472。同样的动量去撞静止团块只得到 2.544，因为一部分能量必须留作整个系统的运动。

可以放在旁边读的来源

  1. Particle Data Group, Review of Particle Physics (2024), Section 49: Kinematics; Navas et al., Physical Review D 110, 030001 (2024)

    方程（49.1）至（49.6）给出能量动量的变换、质心能量和固定靶公式；课程复算了方程（49.6）之后的 K 介子打质子例题。

  2. Particle Data Group, 2024 particle listings: proton, neutral pion, charged kaon and muon

    课程使用的质量：质子 938.27208816 MeV，中性 π 介子 134.9768 MeV，带电 K 介子 493.677 MeV；μ 子平均寿命 2.1969811 微秒。后三项取自对应的 2024 年列表文件。

  3. David Tong, Quantum Field Theory, University of Cambridge Part III lecture notes

    核对了课程页和章节目录：第 1 章讲洛伦兹不变性，第 2 章讲因果性与相对论归一化。它是本课之后的下一步，不是课程计算的来源。

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