L1 · 第 2 章

用光的回声给远处的钟对时

想把 3 光年外的钟对准，似乎只要加上光在路上的时间。可要知道这段时间，先得知道光的单程速度；而测单程速度，又得有两只已经对准的钟。1905 年，爱因斯坦用一个定义打破了这个循环：发一束光出去，接住回声，规定反射发生在发出与收回的正中间。本章把这个定义变成一件测量工具。

Sandbox Physics · 2026-10-29

远处的钟为什么不能直接读

A 想让远处的钟 B 和自己对准。A 可以发一条消息“现在是正午”，让 B 再加上路上的时间。路上的时间等于距离除以光的单程速度；而测单程速度，要在起点和终点各放一只已经对准的钟，这恰恰是我们想办成的事。

一只钟能测的是往返。A 发出一个光脉冲，B 处的镜子把它反射回来，A 记下它离开了多久。这个数字说不出去程和回程各占多少。

爱因斯坦 1905 年论文第 1 节补上了缺的那一环。A 的钟读 $t_A$ 时光从 A 出发，B 的钟读 $t_B$ 时在 B 处反射，回到 A 时 A 的钟读 $t'_A$ 。去程和回程所用的时间相等，两只钟就叫同步。

把这条定义当成 A 一个人就能执行的步骤：在 $t_1$ 发出光脉冲，在 $t_2$ 收到回声，就按下面第二行给反射事件定时间和距离。Dolby 和 Gull 把这两个数叫作雷达时间和雷达距离。第 6 章会把同一套步骤用到加速的观察者身上。

爱因斯坦还假定这条规定对任意多只钟都不自相矛盾：B 与 A 同步，A 也就与 B 同步；两只钟都与 A 同步，它们彼此也同步。有了这两条，所有相对 A 静止的钟就共用一套时间坐标。

\begin{gathered}t_B-t_A=t'_A-t_B\\ t=\tfrac12(t_1+t_2),\qquad x=\tfrac12(t_2-t_1)\end{gathered}

完整例题

A 在 $t_1=2\,\mathrm{yr}$ 发出光脉冲，它碰到钟 B 后反射，回声在 $t_2=8\,\mathrm{yr}$ 回到 A。A 把反射定在第 5 年、3 光年外，正是第 1 章跟踪过的那一下滴答。

回声到达 A 的时刻，恰好也是 A 看见那下滴答闪光的时刻：两束光从同一个事件出发，都以光速奔向 A，自然一起到。多出来的信息是发出时刻，有了它，A 就能把 3 年的延迟扣掉，而不只是察觉到延迟。

A 定为第 5 年的那个事件上，钟 B 读 4 年。这 1 年之差不是延迟，延迟已经扣掉了；它是钟 B 自己走得慢，第 4 章专门讲。

t=\tfrac12(2+8)=5\,\mathrm{yr},\qquad x=\tfrac12(8-2)=3\,\mathrm{ly}

“正中间”这条规则是事实，还是约定？没有已经同步的钟，就测不了光的单程速度，所以这条规则单独无法检验。能检验的，是建在它上面的东西。按这条规则，在 A 的参考系里，光往两个方向一样快，各处的钟彼此对得上；后面的预言，比如第 4 章 μ 子的寿命，也与实验相符。

这条规则只给相对 A 静止的钟定义了“同时”。第 3 章让一个从 A 身旁飞过的观察者执行同一条规则，结果两人对“远处哪些事件同时发生”各执一词。

带着问题动手

钟和双生子实验与这些章节一样，光速取每年一光年。碰撞实验使用 PDG 2024 的质量；粒子对撞机实验的事例来自教学生成器。

展开答案与解释

第 4 年，离 A 3 光年。光看回声分不出在哪一侧，方向由 A 发射时朝哪边决定。

展开答案与解释

不能。A 测到的仍只是 $t_2-t_1$ ，两种主张下这个数一样。按这个主张，远处的反射要定在 $t_1+\tfrac13(t_2-t_1)$ 而不是正中间；它改变的是远处事件的时间标签，不改变任何往返测量。

展开答案与解释

两者都从同一个事件出发，也就是那下滴答处的反射，都以光速沿同一条线奔向 A。

Einstein, On the Electrodynamics of Moving Bodies, Annalen der Physik 17, 891 (1905), English translation by Perrett and Jeffery (1923), Fourmilab edition
第 1 节用“从 A 发出、在 B 反射、回到 A”的光信号定义钟的同步，并写出两条自洽假设。我们只读了第 1 节和第 2 节开头。
Dolby & Gull, On Radar Time and the Twin “Paradox”, arXiv:gr-qc/0104077v2 (2002); American Journal of Physics 69, 1257 (2001)
已读全文（九页，图 1 至图 10）。课程复算了瞬间掉头的雷达时间公式、缓慢掉头各区域的显式公式和匀加速情形；四个角区域的隐式公式和图 8、图 9 的坐标变换没有复算。