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Sandbox Physics
相对论测量 · 边学边做实验

L4 · 第 8 章

对照原文读 Dolby 与 Gull 的雷达时间论文

把 arXiv:gr-qc/0104077v2 打开放在旁边：Carl Dolby 和 Stephen Gull 写的九页、十幅图，2001 年发表在 American Journal of Physics。第 2 版加了几处小修正，期刊版里没有。读完这一章，你会亲手重推论文的式 (1) 和式 (2)，读懂图 5 到图 7 的同时面，并把论文的各个区域对应到双生子实验上。

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图 1 和图 2：论文要反驳的画法

两幅图都标明是“典型的教科书插图”。图 1 里，Barbara 掉头前一刻和后一刻的同时线落在 Alex 世界线上的 G 和 H，两点相隔很远。图 2 让掉头花一段时间，同时线在这段时间里从 EG 扫到 FH。

引言写得很清楚：两人各老了多少没有争议，各自何时看见什么也没有争议，争的只是对 Barbara 来说哪些事件发生在“此刻”。常见的误读，是把这篇论文当成对“谁更年轻”的新回答。它针对的其实是这两幅图里的线：在 Barbara 左侧，这些线互相重叠，同一个事件被定了三个时间。

图 3：最早与最晚

把图 3 上方的两条定义慢慢读一遍。τ+(x)\tau^+(x) 是事件 xx 发出的光最早到达观察者时的固有时；τ−(x)\tau^-(x) 是光最晚从观察者出发、还能赶到 xx 的固有时。上标标的是接收和发出，不是事件之前和之后。

论文说，这只是把爱因斯坦 1905 年的 tB−tA=tA′−tBt_B-t_A=t'_A-t_B 换个写法，经 Bondi 的 k 演算而流行。定义里没有坐标，所以对任何观察者都适用，论文后面的一切都建立在这一点上。

τ(x)=12(τ+(x)+τ−(x)),ρ(x)=12(τ+(x)−τ−(x)),Στ0={x:τ(x)=τ0}\tau(x)=\tfrac12\bigl(\tau^+(x)+\tau^-(x)\bigr),\qquad \rho(x)=\tfrac12\bigl(\tau^+(x)-\tau^-(x)\bigr),\qquad \Sigma_{\tau_0}=\{x:\tau(x)=\tau_0\}

图 4 与式 (1)：亲手推一行

图 4 把掉头点放在原点。Barbara 从右边来、又往右边去，速度 s=tanh⁡αs=\tanh\alpha；论文改用光锥坐标 u=x+tu=x+t、v=x−tv=x-t。两者都为正的地方是区域 I。图 4 里没有 Alex，他到图 5 才出现，就在区域 I 里。

对区域 I 里的事件，回声在离开的那一段收到，所以 u0=eατ+u_0=e^{\alpha}\tau^+；脉冲在到来的那一段发出，所以 v0=−eατ−v_0=-e^{\alpha}\tau^-。两者平均就是式 (1)。取 s=0.8s=0.8，e−α=1/3e^{-\alpha}=1/3：对掉头前后的家中事件，Barbara 的雷达时间只走 Alex 的三分之一，和第 6 章一致。

我们的实验是镜像：家留在 x=0x=0，B 朝 xx 增大的方向飞，所以论文的区域 I 就是我们家这一侧。实验里两只钟都从出发时开始计时，所以每个时间都与论文差一个常数。

τ=12(e−αu0−e−αv0)=e−αt0(I)\tau=\tfrac12\bigl(e^{-\alpha}u_0-e^{-\alpha}v_0\bigr)=e^{-\alpha}t_0\qquad(\mathrm{I})

图 5：家这一侧的同时线是平的

图 5 画出了若干个 τ0\tau_0 的同时面。在区域 F 和 P，Barbara 在同一段路上发出和接收，跟速度为 ±s\pm s 的惯性观察者无从区分，同时面也就是那位观察者的。在区域 I 和 II，她在一段路上发出、在另一段路上接收，同时面是平的。

别把区域 I 里的平线读成 Barbara 借用了 Alex 的参考系。它们是平的，是因为这种定时对 Barbara 固有时的反演是对称的；她的时间相差 1 年的两个面，在 Alex 的时间上相差 eαe^{\alpha} 年，s=0.8s=0.8 时是 3 年。每个事件只落在一个面上，图 1 里的重叠就消失了。

tτ0(x)={τ0 eαIτ0 e−αIIsech⁡α τ0+tanh⁡α xFsech⁡α τ0−tanh⁡α xPt_{\tau_0}(x)=\begin{cases}\tau_0\,e^{\alpha} & \mathrm{I}\\ \tau_0\,e^{-\alpha} & \mathrm{II}\\ \operatorname{sech}\alpha\,\tau_0+\tanh\alpha\,x & \mathrm{F}\\ \operatorname{sech}\alpha\,\tau_0-\tanh\alpha\,x & \mathrm{P}\end{cases}

图 6 和图 7：缓慢掉头，与永不结束的加速

图 6 让 Barbara 以加速度 aa 掉头，历时固有时 τc=α/a\tau_c=\alpha/a，平面被分成九个区域。正文给出了要检查的结论：区域 I 和 II 与图 5 完全相同；在 F 和 P，每个面只是换了一个略有不同的 τ0\tau_0，因为掉头多花了一点时间。我们复算了这些显式公式和区域 U，四个角区域的隐式公式没有复算。

令 τc→∞\tau_c\to\infty 就得到图 7 的匀加速观察者。雷达时间和雷达距离成了 Rindler 坐标，只覆盖区域 U。论文给出了原因：Barbara 发不出信号到区域 P 或 II，也收不到来自 F 或 II 的信号。这就是第 6 章的视界，只是论文把观察者在零时刻放在 x=1/ax=1/a。

τ=12aln⁡x+tx−t,ρ=12aln⁡ ⁣(a2(x2−t2)),tτ0(x)=xtanh⁡(aτ0)\tau=\frac1{2a}\ln\frac{x+t}{x-t},\qquad \rho=\frac1{2a}\ln\!\bigl(a^2(x^2-t^2)\bigr),\qquad t_{\tau_0}(x)=x\tanh(a\tau_0)

图 8 到图 10：换了坐标，答案不变

图 8 用 Barbara 的雷达坐标重画 Alex 的同时面，此时度规为 ds2=e2aρ(dτ2−dρ2)ds^2=e^{2a\rho}(d\tau^2-d\rho^2)。Alex 的路径看上去弯曲，其实是这个度规下的测地线。他仍是惯性的一方，也仍然老得更多。他的一些同时面在图上碰不到他的路径，只是因为这套坐标只覆盖区域 U。图 9 对瞬间掉头做了同样的变换，在过掉头点的两条光线上，尺度有一个跳变。

论文这一节的标题叫“Gravity doesn’t matter”（引力无关紧要），点出了要避开的误读：双生子的结论不需要广义相对论。Barbara 的同时面只取决于运动学；换一套坐标重画，改变的是图，不是任何“某事发生在某时”的陈述。图 8、图 9 的坐标变换我们没有复算。

结论部分的图 10 是更真实的旅程：两人出发前和返回后都在一起。在旅程的因果包络里，也就是中间四个区域，同时面与图 5 相同。作者请读者自己验证两段旅行时间之比为 1−s2\sqrt{1-s^2}；取 s=0.8s=0.8，就是第 5 章的 6 年对 10 年。

读下一篇讲同时性的论文时，可以这样检查

先问：论文争的是年龄，还是远处事件的标号？前者由固有时决定，后者取决于定义怎么选。再看：这种定时与坐标无关吗？是否给每个事件只定一个时间？在观察者自己的路径上是否等于固有时？还要留意它覆盖哪些事件：只有观察者既能发信号过去、又能收到回音的事件，才有雷达时间。最后看短暂的加速对远处事件有什么影响；好的定义只让它们短暂地变一下。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 用式 (1) 预测：在瞬间掉头的旅程中，B 给 A 的第 8 个生日定什么雷达时间。别忘了实验从出发算起，掉头时家中时间为 5、B 的钟为 3，并且 e−α=1/3e^{-\alpha}=1/3。
  2. 在双生子实验中选“瞬间掉头：10 年对 6 年”，把“家中事件（A 的钟）”设为 8。
  3. 把“B 给家中事件定的雷达时间”和你的预测比较，并指出把论文式 (1) 变成实验读数的两个常数平移。
数一数双生子各自收到的信号

钟和双生子实验与这些章节一样，光速取每年一光年。碰撞实验使用 PDG 2024 的质量；粒子对撞机实验的事例来自教学生成器。

试着自己解释

1. 在区域 F，脉冲的发出和回声的接收都在离开的那一段。重推式 (2)。

展开答案与解释

此时 u0=eατ+u_0=e^{\alpha}\tau^+，v0=−e−ατ−v_0=-e^{-\alpha}\tau^-，所以 τ=12(e−αu0−eαv0)\tau=\tfrac12(e^{-\alpha}u_0-e^{\alpha}v_0)。代入 u0=x0+t0u_0=x_0+t_0 和 v0=x0−t0v_0=x_0-t_0，得 τ=cosh⁡α t0−sinh⁡α x0\tau=\cosh\alpha\,t_0-\sinh\alpha\,x_0。

2. 取 s=0.8s=0.8。在区域 I，Barbara 的 τ0=1\tau_0=1 与 τ0=2\tau_0=2 两个同时面在 Alex 的时间上相隔多少？在区域 F 的同一位置又相隔多少？

展开答案与解释

区域 I 里相隔 eα=3e^{\alpha}=3 年；区域 F 里相隔 sech⁡α=0.6\operatorname{sech}\alpha=0.6 年，正是以 0.8 运动的惯性观察者的间隔。

3. 对图 7 的匀加速观察者，哪些事件没有雷达时间？各缺了定义中的哪一半？

展开答案与解释

区域 P 的事件收不到 Barbara 的信号，没有最晚发出时刻；区域 F 的事件发不出能到达她的信号，没有最早接收时刻；区域 II 两样都缺。只有区域 U 有雷达时间。

可以放在旁边读的来源

  1. Einstein, On the Electrodynamics of Moving Bodies, Annalen der Physik 17, 891 (1905), English translation by Perrett and Jeffery (1923), Fourmilab edition

    第 1 节用“从 A 发出、在 B 反射、回到 A”的光信号定义钟的同步，并写出两条自洽假设。我们只读了第 1 节和第 2 节开头。

  2. Dolby & Gull, On Radar Time and the Twin “Paradox”, arXiv:gr-qc/0104077v2 (2002); American Journal of Physics 69, 1257 (2001)

    已读全文（九页，图 1 至图 10）。课程复算了瞬间掉头的雷达时间公式、缓慢掉头各区域的显式公式和匀加速情形；四个角区域的隐式公式和图 8、图 9 的坐标变换没有复算。

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