从两条轨迹算出质量，再问碰撞有多常见

一个粒子可能刚生成就衰变，根本飞不到探测器。只要量到衰变产物的能量和方向，仍能推回它的质量：先把能量相加，再把动量按向量相加，最后计算这组总能量、总动量对应的质量。认出过程以后，接着就能问：这样的碰撞究竟有多常见？

先说清探测器量到了什么

把束流方向定为纵向正方向，与它垂直的平面叫横向平面。一个重建粒子用能量 $E$ 和三个动量分量 $p_x,p_y,p_z$ 描述。本路线采用自然单位 $c=1$ ，能量、动量和质量都以 GeV 表示。GeV 原本是能量单位；这个约定把光速因子吸收进单位。

四动量就是按顺序写出的 $p=(E,p_x,p_y,p_z)$ 。计算它的“长度平方”时，空间分量前面取负号。这个特殊规则保留了相对论中的一件事：两个观察者可以量到不同能量、不同动量，却会算出同一个质量。

p^2=E^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2=m^2.

多个粒子要先合成一组总四动量，再计算质量。若把每个粒子的质量平方单独相加，彼此飞行方向的信息就丢了；母粒子的质量恰恰藏在这些方向关系里。

M^2=\left(\sum_i E_i\right)^2-\left|\sum_i\mathbf p_i\right|^2.

设两个近似无质量的粒子，能量都为 50 GeV，沿横向相反方向飞出。它们的动量正好抵消，总能量是 100 GeV，不变质量也就是 100 GeV。保持两份能量不变，把夹角改成直角，就会留下净动量，不变质量降为约 70.7 GeV。

这个结果可以直接推出来。展开总四动量的平方，两个粒子各自的质量为零，两个动量的点积写成模长之积乘夹角余弦。这里的 $\theta$ 是两条动量之间的空间夹角。

M^2=2E_1E_2(1-\cos\theta),\qquad M(\theta=\pi/2)=\sqrt{5000}\ \mathrm{GeV}\approx70.7\ \mathrm{GeV}.

若给整个事件一起换参考系，所有四动量作同一个洛伦兹变换，不变质量保持不变。若改变量到的能量或方向，质量就会变。探测器精度有限，一批本来集中在同一质量附近的事件，重建后便会铺成一个有宽度的峰。

截面用面积衡量某个反应发生的概率大小。积分亮度描述束流提供了多少次碰撞机会，单位是面积的倒数，两者相乘得到预计事件数。接受度说的是：目标过程有多少落在指定的几何和运动学范围内。效率说的是：已经落在这个范围内的事件，有多大概率被重建并通过选择。

用 $\mathcal L$ 表示积分亮度， $\sigma$ 表示截面， $A$ 表示接受度， $\epsilon$ 表示选择效率， $B$ 表示预计背景数。一个只有单一计数区的模型写成

\mathbb E[N]=\mathcal L\sigma A\epsilon+B,\qquad \widehat\sigma=\frac{N-B}{\mathcal L A\epsilon}.

算一组教学数字：选出 120 个事件，预计其中 20 个来自背景；积分亮度为 10 逆飞靶，接受度和效率的乘积为 0.5。扣背景后剩下 100 个信号事件，截面便是 20 飞靶。把结果乘回亮度和效率，正好得到这 100 个事件，也顺便检查了单位。这里的数字是人为设定的例题。

实验常报告一个限定运动学范围的截面，把“测了哪一部分”直接写进结果。这样可以少向没看见的区域外推。不过，范围内的事件仍可能漏掉或跨过选择边界，必须交代探测器怎样影响它们。

打开碰撞机 Lab，选一个事件，先辨认哪些末态对象应归入同一个母粒子。把它们的飞行方向与重建质量联系起来。装置和衰变样本采用教学模型，质量计算遵循上面的四动量相加。

在纸上预测：能量不变，两条动量更接近平行时，质量会往哪边变？分别算两个夹角，再和场景中的方向关系比较。旋转相机只是在换观看角度，不应改变物理质量。

练习一：两个无质量粒子的能量分别为 40 和 90 GeV，反向飞出。不变质量是多少？为什么不能直接把能量相加作为质量？

答案：质量平方等于两份能量之积的四倍，得到 120 GeV。总能量为 130 GeV，但两份动量大小不同，反向相加后仍有净动量。总能量和质量之间的差别由这份净动量解释。

练习二：沿用例题的信号数和积分亮度，把接受度与效率的乘积从 0.5 修正为 0.4。截面应该升高还是降低？

答案：升到 25 飞靶。探测器留下相同数量的事件，效率却更低，说明原来发生的信号应当更多。这里改的是测量模型，不是把已经观测到的计数重新随机抽一遍。

练习三：质量箱宽减半以后，峰高变成原来的两倍。能否据此说粒子多了一倍？

答案：先看纵轴写的是每箱计数，还是单位质量区间的密度，再比较同一个质量范围内的总数。峰高依赖分箱和归一化方式，固定区间内的事件数才有直接的计数含义。

Particle Data Group, Kinematics (2024)
核读第 49.1–49.2 节：四动量、标量积与质心能量；第 1 页声明自然单位。
Particle Data Group, Quantum Chromodynamics (2024)
核读第 9.2.2–9.2.3 节，尤其式 (9.15)：共线因子化、尺度依赖与红外安全观测量。固定使用 2024 年版本，不据此报告最新部分子分布拟合。