先打开 Cowan 等人的 arXiv:1007.1727v3，翻到第 5.1.1 节和图 7。我们先复算背景已知的计数例，再取一份冻结的 CMS 喷注表，检验简单形状能外推多远。前一项复算指定的已发表统计结果；后一项提出的范围比 CMS 的 QCD 分析窄得多：一个低阶经验形状，究竟能把公开谱描述到什么程度？
图 7 把平滑近似与离散计数放在一起
横轴是预计背景数，保存的计算从 0.1 扫到 100。论文分别取两个、五个和十个信号事件。纵轴是背景已知时，发现显著性近似的中位数。这个例子只有一个计数区，没有干扰参数，也没有扫描未知信号质量。
式 (96) 给出某个观测计数对应的单边似然比统计量平方根。式 (97) 再把观测计数换成信号与背景之和，称为 Asimov 值。信号预计数为 、背景为 时，得到
展开对数，只有信号远小于背景时，才能进一步近似为信号除以背景平方根。除了总计数，还要检查信号与背景的比值。
不用随机数，也能复算台阶
在均值为 的泊松分布中，找累计概率首次达到一半的最小整数，就选定了一种离散中位数。把这个整数代入式 (96)，得到统计量平方根的精确泊松中位数。若想把它换成精确有限样本的高斯等效尾部显著性，还得另算零假设上尾概率。
信号取二、背景取 0.1，中位计数是二。Asimov 表达式给出约 2.964，离散中位数对应的平方根约为 2.861。差别来自计数的离散性。保存的计算覆盖 183 组信号与背景；另用数值优化直接最大化泊松似然，与解析统计量的最大绝对差约为 。
运行仓库的 cowan-counting-benchmark.py 可以重新生成表格。下载的 JSON 写明论文版本、公式号、信号数和背景范围。配图重新计算的是图 7 中这个限定部分，论文中带干扰参数的其他例子另需复算。
拟合以前，先固定一份实测数据产品
采用 HEPData 记录 115022 的第二版：谱表 ak4_xsec_ybin1，以及第五表的相关矩阵。它包含 CMS 在 13 TeV 质子碰撞中测得的 22 个已发表展开箱，横向动量从 97 到 3103 GeV，反 kT 半径为 0.4，绝对快度小于 0.5。谱表单位为 ，其中 。这里拿到的是已发表的粒子级谱值，不是原始碰撞事件，也没有重新做一遍展开。
来源文件固定了表格 DOI、文件名、字节数、SHA-256 摘要和 CC0 数据许可。论文固定为 arXiv:2111.10431v3，并另外链接 2022 年 12 月增补。增补修订了强耦合解释，不能再把旧摘要中的拟合数值当作修订结果。本练习不提取强耦合或威尔逊系数。
预测要在整个箱内平均
谱下降很陡，箱中心的曲线值可能明显偏离箱平均。应按发表的边界积分，再除以箱宽。经验模型令 ，写成
曲率 为零时是幂律；放开它，允许对数斜率随动量改变。两种式子都没有包含 QCD 预言所需的部分子分布、微扰硬系数和非微扰修正。
只用前十二箱、直到 967 GeV 来估计参数，把更高的十箱留作外推。留出箱与训练箱共享系统相关性，这项外推始终保留这些依赖。
系统变化的正负号和展开相关都要留下
第五表给出一项合并成分在展开后的相关性：统计误差与逐箱不相关系统误差的组合。谱表中各个有名称、带正负号的系统变化另构成相关成分。计算在这个单一快度区间内为它们构造外积，再使用对数截面线性化协方差作广义最小二乘。
这是明确定义的近似：没有跨快度或理论协方差，也不报告预测 p 值与拟合参数误差。论文图 3 展示的是另一个喷注半径的矩阵；本练习采用相应的 AK4 表，并把它与图 3 的来源分开标明。
两个简单形状都没通过精度检验
幂律在训练区的统计量约为 5673，自由度十；允许曲率以后降到约 164，自由度九。在给出的实验精度下，两者在训练区就已经不够好。留出区内，预测相对数据的分数残差均方根分别约为 36.8 和 2.60。这是无量纲比值，2.60 表示百分之二百六十，不是百分之二点六。
带曲率的外推比较接近，离精密描述仍很远。这种失败没有提供新粒子的证据，它说明：即使拿真实发表数据，选错方便的背景形状，也能留下巨大残差。幂律箱积分的解析结果与独立数值积分相差约 ；这项检查检验积分的数值精度，模型是否适当仍由数据比较判断。
再比较一份已发表的 QCD 模型修正包络
同一数据版本还提供第四十九表的非微扰修正，以及第四十一表的电弱修正。论文把非微扰因子定义为模拟截面之比：分子包含簇射、多重部分子相互作用与强子化，分母只保留簇射。PYTHIA 8 CP1 与 HERWIG++ EE5C 给出的平滑包络估计模型依赖。表中给出中点与半宽，不能自行把上下端分别贴上某个生成器的名字。
第一个动量箱的非微扰因子为 0.96555，包络半宽为 0.036159。中心值乘单独列出的电弱因子 0.99888，得到约 0.964469；最后一个箱的组合中心因子约为 1.08471。这些无量纲模型修正与实测截面分列保存。电弱表没有给误差，也不能据此把理论误差认作零。
配图复算第 4.3 节、式 (4) 与图 5a 相关的中央快度切片。这里使用已发表模型因子，没有重新运行簇射、强子化生成器或固定阶计算。这样，除了经验形状的外推，还能具体比较一份公开的模型依赖。
按同样步骤再做一次
运行 public-spectrum-benchmark.py，比较保存的训练分界、拟合系数和残差数组。若想改变分界，要另存一项有标签的研究。判断结论变化来自模型、拟合动量范围，还是不确定度假设；冻结的数据表保持原样。
再回到反 kT 论文的式 (1) 和图 1，按第 4 章的距离比较，推导孤立硬粒子的软捕获半径。这检验了明确的解析极限。若要重现整幅图，还需要原来的生成器事件、幽灵粒子定义和聚类面积设置。
复用结果以前，先回答三个问题
问题一：为什么在对数轴上看着贴得不错，并不足以说明拟合好？
答案：对数图把跨越很多数量级的谱压在一张图里，大的相对偏差也可能不显眼。应比较箱平均和带相关性的残差。这里的训练统计量把缩略图容易掩盖的失败显示出来。
问题二：能把这个谱直接塞进第 6 章的独立泊松计数似然吗？
答案：不能。它是带相关性和系统成分的展开截面，不是互相独立的整数计数。统计模型必须对应这个已发表数据产品，或者在可取得时使用底层事件似然。
问题三：真正作 EFT 解释，还要增加什么？
答案：明确的算符基与阶数、QCD 和部分子分布预言、探测器或发表结果的似然、实验与理论相关误差，以及能量有效域处理。CMS 论文做的是更大的分析，这项有限形状练习为阅读它作准备。
对照复算图与原表
来源与核读范围
- Cowan et al., Asymptotic formulae for likelihood-based tests of new physics, arXiv:1007.1727v3
核读式 (2)、(6)–(8)、(12)、(94)–(98)，第 3.3、5.1.1 节和图 7。论文复算限于背景已知的计数例；多箱干扰参数模型另列为教学算例。
- Cacciari, Salam & Soyez, The anti-kt jet clustering algorithm, arXiv:0802.1189v2
核读定义式 (1a–b)、第 2.1 节与图 1。课堂计算检验孤立硬粒子的软辐射捕获范围；不重新生成 Herwig 事件或整幅主动面积图。
- Particle Data Group, Quantum Chromodynamics (2024)
核读第 9.2.2–9.2.3 节，尤其式 (9.15)：共线因子化、尺度依赖与红外安全观测量。固定使用 2024 年版本，不据此报告最新部分子分布拟合。
- CMS, Inclusive jets at 13 TeV, arXiv:2111.10431v3 and December 2022 addendum
核读第 3–4 节的喷注定义、展开与理论成分；另列增补 doi:10.1007/JHEP12(2022)035。练习使用已发表谱，不重复论文 QCD 或 EFT 拟合。
- CMS HEPData 115022 v2, AK4 central-rapidity spectrum and correlations (CC0)
冻结 t1（ak4_xsec_ybin1）、t5（ak4_correlations_y1_y1）、t49（非微扰）与 t41（电弱），保留原表 JSON、SHA-256 摘要与许可。图下可下载源文件。