质子束的能量固定，短程碰撞的能量为什么会变

束流能量规定了每个质子带来多少能量，真正参加一次短程碰撞的通常是其中一个夸克或胶子。它只拿走质子动量的一部分。同一轮质子碰撞会探查许多不同的短程能量；预言发生率时，要把“质子怎样分配动量”和“这两个成分怎样反应”接起来。

每束质子各拿出一份动量

在碰撞计算中，把参与反应的夸克或胶子统称为部分子。它们从两束质子拿到的纵向动量份额分别记作 $x_1$ 和 $x_2$，都介于零和一之间。在束流能量很高、可忽略质子质量的运动学近似下，若质子对的质心能量平方是 $s$，部分子对的能量平方便是

这解释了为什么每个短程反应用不上全部束流能量。同一个末态质量也可以向不同纵向速度运动：一束多拿一点，另一束少拿一点，只要两份额的乘积相同，部分子能量就相同。

先看最简单情形：最低阶计算产生一个质量为 $M$ 的窄态，没有额外反冲。用 $Y$ 描述它沿束流方向的快度，能量、动量守恒给出

快度衡量纵向运动，换参考系时可以相加。到喷注一章，我们会用能量和纵向动量写出它的定义。

给重态算一组动量份额

假设在 13 TeV 的质子碰撞中产生一个 1 TeV 的新态。快度为零时，两束各需要约 0.0769 的动量份额。快度为一时，两份变成约 0.209 和 0.0283。乘积没有变，部分子不变质量仍为 1 TeV。这组数字采用最低阶、无反冲条件；若同时飞出高能辐射，就要把它也算进守恒关系。

现在试着把快度取为三。第一份动量会超过一，意味着从质子里拿出比整个质子还多的纵向动量，在这个共线模型中不可能发生。这种检查应当在计算截面以前做。

因子化就是把所有来路按权重相加

部分子分布函数 $f_a(x,\mu_F)$ 描述：在选定的因子化尺度 $\mu_F$ 下，种类为 $a$ 的部分子怎样分布在动量份额上。最低阶时，可以把它想成密度。到了更高阶，函数依赖计算约定，不能直接当成探测器量到的普通概率曲线。因子化尺度划分了两部分辐射：哪些并入质子结构，哪些留在短程计算中。

积分可以从加权求和理解。先把两条动量份额轴分成小格；给每一对格子算短程截面，乘两份密度和格宽；最后把所有格子、所有部分子种类加起来。格子取得越来越细，就得到

两个尺度分别安排哪部分计算

短程系数 $\hat\sigma_{ab}$ 带面积单位，动量份额与积分测度无量纲。重整化尺度 $\mu_R$ 则规定在哪个能标取强耦合常数。这两个尺度是计算中的选择。若能算完全部微扰阶数，尺度依赖会互相抵消；只保留有限阶，就会剩下一部分。

改变尺度时究竟在检验什么

换一组部分子分布，会改变高质量端的预言；改变计算尺度，也可能改变它。前者探查质子结构，后者帮助评估省略的微扰项。拟合时还要说明：不同质量箱之间，这些变化是否一起发生。若让每个箱独立乱动，就丢掉了理论变化本来具有的平滑形状。

因子化需要适当的硬能标和观测定义。特别严格的末态限制可能要求更细的理论描述。事件显示可以帮助认识末态运动学；计算入射分布、辐射级联和强子形成，还需要专门的理论与离线程序。

进入辐射问题以前先算一张表

沿用 1 TeV 的例子，分别取快度零、一、二，列出两个动量份额和它们的乘积。画箭头，标出哪束质子拿出的份额更大。碰撞机 Lab 提供末态事件图像，这张表负责解释图像背后的入射运动学。

接着想一个问题：若末态多了一颗能量极低的粒子，一个合适的测量结果应该突然跳变吗？这个问题决定了哪些观测量能拿去和微扰预言比较。

练习与答案

练习一：固定质量、没有反冲时，快度的最大绝对值是多少？

答案：分别要求两份动量份额都不超过一，得到 $|Y|\leq\ln(\sqrt{s}/M)$。例题的上限约为 2.56。靠近这个边界时，部分子分布往往也很小；运动学允许，不表示发生率很高。

练习二：因子化尺度变了，预言随之改变。能把这算成一种新的探测器系统误差吗？

答案：不能。它来自入射结构和短程过程的理论近似。探测器响应是下一步：把真实末态变成被选中的记录。两者都可能改变谱形，但必须在拟合中分别说明来源。

练习三：保持质量和零快度，把束流质心能量加倍，需要的动量份额怎样变化？

答案：两份都减半。至于事件是否更多，单靠这个运动学关系还回答不了，还要结合部分子分布和短程截面。