多出一颗软粒子，什么测量还能保持稳定

一小团能量，探测器可能认成一个粒子，也可能分成两个。能量很低的辐射还可能刚好被记录下来。若额外能量趋于零，或者一次分裂越来越平行，观测结果都趋回原值，就称这个观测量具有红外和共线安全性。它让分辨率有限的测量有机会与微扰计算接上。

给同一个事件做两种小改动

这里的“红外”指低能辐射。先固定一组末态动量，再加入固定动量 $q$ 乘无量纲缩放因子 $\varepsilon$；缩放因子趋于零，额外能量也随之消失。安全观测量 $O$ 应当随之趋回原值。“共线”则把一个无质量粒子换成两个平行的无质量粒子，分别分走原能量的 $z$ 和 $1-z$。

有限辐射与未分辨极限问的是两件事

这两个极限检验的是观测定义。有限能量的辐射当然可以改变事件；安全性也没有要求所有辐射图案都长得一样。真实辐射还会伴随其他粒子反冲。先做上述小扰动，是为了单独看清：当探测器分不出那次变化时，测量定义会怎样回答。

数粒子为什么过不了共线检验

把一个 100 GeV 的无质量粒子，换成两个完全平行、能量分别为 40 和 60 GeV 的粒子。总四动量不变，粒子数却从一变成二。即使把夹角压到再小，这个整数跳变也不会消失。

粒子数仍然可以测量，但解释它时要处理分辨率、阈值和强子形成。喷注总动量的表现不同：把平行动量按四向量相加，恰好返回原动量。同一次变化，粒子数和能流给出了两种不同的回答。

阈值会再添一层条件。若什么粒子都数，一颗任意软的粒子就会多贡献一次计数。设定非零阈值后，严格趋于零的粒子进不来；可是一个原本过阈值的粒子，仍可能共线分成两个不过阈值的子粒子。先把选择条件写全，才谈得上检验观测量。

事件形状把“像不像两束”变成一个数

横向推力衡量横向动量能多集中在一根轴上。取横向平面里的单位向量 $\mathbf n_T$，把每个粒子的横向动量投影到这根轴，取绝对值后相加，再除以动量模长的总和。最后转动轴，找到最大的比值。

这个比值无量纲。两个完全反向的粒子给出一；动量分散到更多方向，比值就会下降。把一个动量共线拆开，对任何试探轴来说，分子和分母都原样相加，最大值也就不变。加入一颗很软的粒子，两个和式只改动与其动量同阶的一点，零能极限因此连续。

这里算的是指定完整粒子集合的理想粒子级观测。若只取某段快度、只用带电粒子或加上动量阈值，就定义了另一种测量，需要重新说明微扰和非微扰部分怎样处理。

亲手算一个形状

让两个横向动量都是 50 GeV 的粒子沿水平方向反向飞出，再沿竖直方向加一对各 5 GeV 的粒子。两对都互相抵消，总横向动量仍为零。在第一象限，试探轴转过 $\alpha$ 后，分子为 $100\cos\alpha+10\sin\alpha$。当 $\tan\alpha=0.1$ 时，它达到向量分量 100 和 10 对应的模长。

若偷懒把轴固定成水平，会算出约 0.909。差别虽小，却提醒我们：找最优轴本来就是定义的一部分。让竖直那对粒子越来越软，推力会连续回到一。这组动量来自人为构造的解析例子；粒子簇射程序提供的是另一类事件来源。

把安全与不安全的变化放在一起看

打开喷注聚类 Lab，保持硬粒子事件不变，加入一个软粒子，再逐渐减小它的能量。分别记录喷注动量和粒子数。随后把一个粒子拆成近共线的一对，逐渐缩小夹角。先预测哪个量会回到原值，再看读数。

每次比较时，固定喷注半径和动量阈值。一颗有限能量的粒子跨过喷注边界，是另一种几何变化，应当和零能、零夹角极限分开判断。

练习与答案

练习一：一个 40 GeV 粒子分成完全平行的 10 和 30 GeV 粒子。横向推力和粒子数分别怎样变？

答案：推力不变，粒子数加一。平行动量对投影绝对值与模长之和都保持可加；数粒子则按对象逐个计数。两种答案来自两个不同定义。

练习二：红外安全能否保证探测器噪声没有影响？

答案：不能。它控制的是辐射能量趋于零时的极限响应。有限噪声、大量软成分和选择阈值仍可能带来可观变化，要由探测器与堆积模型评估。

练习三：把例题竖直方向的两个粒子都改成 10 GeV，推力是多少？

答案：最优分子变为 $\sqrt{100^2+20^2}$，分母是 120 GeV，得到约 0.850。更多动量离开主要的水平方向，事件就更不像两束细流。