顺着合并次序，亲手把粒子聚成喷注

喷注算法给末态动量规定了明确的分组规则。序贯重组每次找最小距离：要么合并一对对象，要么把某个对象宣布为已经完成的喷注。距离中怎样使用动量，就区分了 kT、Cambridge/Aachen 和反 kT。三者都能具有红外、共线安全性，但合并顺序与软粒子边界并不相同。

把事件铺在快度和方位角上

沿束流取纵向，绕束轴的角度称为方位角 $\phi$，单位是弧度。横向动量是垂直束流那部分动量的模长。快度 $y$ 则由能量和纵向动量定义：

方位角的首尾相接，两个数分别靠近正负边界时，方向可能只差一点。计算距离必须取最短角差。快度差和角差都无量纲，合在一起定义

给所有粒子一起作纵向洛伦兹变换，快度整体平移，差值不变。只靠方向定义的赝快度，对无质量粒子等于快度；两个粒子合并后可以形成有质量的喷注，此时应从总四动量重新算快度。

一套距离，三种合并次序

给每对活动对象算一份两两距离，再给每个对象算一份束流距离。半径参数 $R$ 规定角尺度；指数 $p$ 取正一、零、负一时，分别得到 kT、Cambridge/Aachen、反 kT。

把两张列表放在一起找最小值。若最小的是两两距离，就把两份四动量相加，以总四动量替换原来一对，称为 E 方案重组。若最小的是束流距离，就把该对象移出列表，保留为喷注。重新计算，再继续。若只比较两两距离，毫不相关的对象最终也会被强行并成一个。

kT 通常先处理软结构；Cambridge/Aachen 按角度安排次序；反 kT 容易先把软粒子接到附近硬粒子上。最后这条性质，让孤立硬粒子周围的软粒子捕获范围相当规整。

跟着一颗软粒子算距离

取一个横向动量 100 GeV 的硬粒子和一个 1 GeV 的软粒子，半径为 0.6，两者距离为 0.3。反 kT 的两两距离为 0.000025 逆 GeV 平方，小于硬粒子束流距离 0.0001，因此先合并。把距离改成 0.9，两两距离升到 0.000225，硬粒子就先被宣布为喷注。

只有一个孤立硬粒子、软粒子动量趋于零时，这个比较给出半径为 $R$ 的圆形捕获区。附近若有另一个硬粒子，边界便会被裁切或改变。一般事件里给每个喷注画一个圆，只能作为示意；真正测面积，要把软探针实际送进聚类。

原论文图 1 采用 Herwig 事件和大量软“幽灵”粒子测主动面积。小规模浏览器场景检验的是局部距离规则和孤立粒子极限，并未重新生成整份事件样本。

四动量相加保留了什么

两个等能、无质量粒子若夹角不为零，相加后便有非零不变质量。若合并时只平均方向，再硬塞回一个无质量对象，这份质量信息就丢了。逐项相加能量与动量分量，才能在每次合并时保留守恒量。

极小的共线分裂应先并回去，再影响有限的硬结构。数值检验要避开严格退化的事件，例如两个硬喷注恰好落在分类边界上。边界两侧本来属于不同类别，有限扰动可以换边；检验安全性要看零能或零角极限怎样收敛。

先预测软粒子归到哪束

在喷注聚类 Lab 中固定输入动量，再切换算法。先不动硬粒子，只把软探针拖过边界；随后减小它的动量，再做一次。先预测金色探针会归到哪束，再比较最终归属与首束喷注的横向动量。图中显示最终聚类结果，合并次序由纸上的距离计算来判断。

作共线比较以前，先把默认事件的金色探针动量设为零，再选分裂预设并逐渐缩小夹角。与这份零探针、未分裂参考比较，或者读相对指定参考的动量差。记录分量或不变质量，别只比较色块是否相似：合并历史不同，仍可能得到同一组物理喷注。默认输入采用半径 0.7、反 kT 和 3 GeV 金色探针，首束横向动量约为 99.3 GeV，质量约 16.7 GeV，超过 10 GeV 的喷注有两束。这些确定数值来自有标签的合成粒子列表。

练习与解释性答案

练习一：两个无质量粒子的横向动量分别为 20 和 30 GeV，完全平行。合并后的横向动量和质量是多少？

答案：横向动量是 50 GeV，质量为零。它们的能量和各动量分量都沿同一方向相加；有非零夹角时，合并质量通常会变为正。

练习二：两个方位角分别为 3.13 和负 3.13 弧度。它们是不是几乎隔了一整圈？

答案：最短角差约 0.0232 弧度。若直接减存储的两个数，会把相邻粒子当成相距很远，聚类也随之出错。

练习三：孤立反 kT 例子中，软粒子恰好离硬粒子一个半径时，会发生什么？

答案：软极限下，两两距离等于硬粒子的束流距离。平手时，代码按预先规定的次序选择。这个等号位于喷注边界上，科学检验应同时检查邻近两侧，并记录平手约定。