用高能尾部推断新相互作用，要把展开用到哪里

一种很重的相互作用，即使重到无法直接产生媒介粒子，也可能影响碰撞。能量远低于重尺度时，可以按能量与重尺度之比展开。要用高能尾部推断它，既要让展开仍然可控，也要把质子结构、QCD 预言和探测器响应的普通变化纳入比较。

从重粒子的传播开始展开

一个简单的重粒子交换含有重质量 $\Lambda$ 与动量转移尺度 $Q$ 构成的分母。比值足够小时，几何级数给出

后面每一项都有新的能量依赖。有效场论简称 EFT，把这样的低能效应整理为一组局域相互作用，称为算符，再配上系数。系数的含义取决于算符怎样归一化、还允许哪些相互作用。给一条任意画出的尾部曲线乘一个数，尚不能把这个数解释为威尔逊系数。

这个分母只是帮助理解展开的教学例子。真实 EFT 还涉及多个算符、干涉、尺度演化与匹配。低于重尺度，只是例子中的必要条件；若要达到某个精度，还得评估省掉的项有多大。

振幅平方以后，出现哪些阶

散射振幅是复数，模平方进入反应率。设 $\mathcal A_0$ 是标准模型振幅，$\mathcal A_6$ 是剥去系数的六维算符贡献，$c$ 是无量纲系数。在振幅里加上一项，算反应率时就会同时得到干涉项与平方项：

干涉可以增大反应率，也可以降低反应率；若两个振幅处于不同螺旋度状态，还可能不干涉。干涉为负没有问题，总物理预言仍应非负。若截断结果出现负率，要重新考虑适用范围或截断方式，不能悄悄把箱值裁成零。

在重尺度倒数的四阶，八维算符与标准模型的干涉也能出现，与六维平方处于同一阶。只加六维平方，就额外假设了只取这一部分四阶贡献。要评估省掉的八维项，还得补上幂次计数或模型假设。

算一个能量展开例题

明确造一个实振幅比 $\mathcal A/\mathcal A_0=1+cQ^2/\Lambda^2$，取 $c=0.5$、$\Lambda=2$ TeV。能量 $Q=0.5$ TeV 时，振幅修正为 0.03125；反应率比约为 1.06348，只留线性项则为 1.0625。二者之差不到原反应率的千分之一。

把能量升到 $Q=1.5$ TeV，振幅修正变成 0.28125。这个指定振幅完整平方后，反应率比约为 1.6416；线性结果为 1.5625。差距变大，说明结果开始更依赖截断选择。它没有替我们估计任何未知的八维系数。

把能量范围写进拟合定义

高能箱往往最容易把增长的 EFT 项与下降的背景分开，也最接近展开失效的区域。应当改变能量上限，分别保留选择定义，展示拟合怎样变化。重建质量截断只是硬能标的代理，不能证明每个部分子不变量都符合有效域条件。

信号与背景 Lab 采用明确定义的教学尾部模板和信号强度倍数，只纳入上边界不超过截断的完整质量箱。这个强度整体缩放固定比例的增长项；改变上面例题的 $c$ 时，干涉和平方的缩放规律不同；Lab 则用一个强度整体缩放它们已固定的组合。

普通物理也能改出一段尾部

高动量喷注谱依赖部分子分布和 QCD 辐射。能量校准稍有偏移，还会把事件推过一条快速下降的谱。它们都能改变尾部形状，甚至与 EFT 模板相似。若全部固定，拟合可能给出很强的系数限制，却没有充分比较这些普通解释。

下一章取一份真实发表的 CMS 喷注谱，检验简单形状究竟能外推多远。两种拟合在报告精度下都失败。关键练习是先发现背景描述不好，再决定怎样理解残差。

操作任务与练习

任务：在似然 Lab 中选增长尾部预设，用几个允许的质量上限分别记录最佳强度和区间。保持已保存样本和其他设置不变。解释区间变化时，分开两件事：可用事件变少，以及尾部形状的能量跨度变短。

练习一：在教学振幅中，保持重尺度不变，把能量加倍。振幅修正、干涉和平方各怎样变？

答案：振幅修正与干涉变成四倍，平方项变成十六倍。不同项增长速度不同，高能尾部因而很快就会对截断敏感。

练习二：某个通道的干涉为零，只保留六维算符平方，是否自动得到该阶完整结果？

答案：没有。八维干涉仍可能出现在相同倒数阶。需要幂次计数假设、指定的高能模型或不确定度处理，才能评估它。

练习三：加入跨箱相关的能量尺度干扰参数以后，最佳尾部系数下降。应该检查什么？

答案：检查干扰参数是否有独立依据，变化是否传过完整事件选择，以及它的形状是否与尾部重叠。两个参数能解释同一部分变化，属于可辨识性问题，应在区间和参数相关中反映出来。