原初黑洞与暗物质限制

如果黑洞在恒星出现以前就存在，今天该怎样找？ 看它们的质量和辐射今天会造成什么效果。早期宇宙里少数特别密的区域若塌成黑洞，就会像暗物质一样存在。较轻的仍在蒸发，较重的会让背景星光短暂增亮或吸积气体，最重的会并合并发出引力波。在小行星质量附近，现有限制仍允许它们构成全部暗物质，但至今没有探测到一个。

移动早期密度功率谱的峰和塌缩阈值，看会形成多少黑洞、落在哪些质量，又有哪些观测已经把它们排除。

这些黑洞占暗物质的比例 $0.986$

最常见的黑洞质量 $3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot$

塌缩的视界区域比例 $2.74\times10^{-13}$

最紧的一条限制（大于1即排除） $R_{\mathrm{SUB}}=0.08$

调整早期密度峰

M_c

功率谱峰对应的黑洞质量

3.98\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot

A

峰的振幅

0.0608

\Delta

峰在波数上的宽度

0.5

\delta_c

塌缩阈值

0.45

拖动画面里的金色手柄，可改变质量或阈值。

约定与合并比值

$M=\gamma M_H,\quad \gamma=0.2,\quad M_c=2\gamma M_*$

视界质量由重新进入视界的波数决定。窄峰在该视界质量的两倍处方差最大。

$\psi(M)=\gamma\,\beta(M_H)\,\frac{(\Omega_r F^2)^{3/4}}{\Omega_{\rm DM}}\left(\frac{M_{H,0}}{M_H}\right)^{1/2},\qquad f_{\rm PBH}=\int\psi\,\mathrm{d}\ln M$

辐射密度、今天的哈勃质量与暗物质密度取固定教学值；相对论粒子自由度固定为106.75。

$\Big(\sum_{j\in\mathrm{lin}} R_j^2\Big)^{1/2}=0.08$

这种平方和合并假定观测量线性、彼此独立且误差服从高斯分布，不用于引力波表。

模型假设

这个教学模型从原初曲率功率谱里的一个对数正态峰出发。在辐射主导的宇宙中，用高斯窗口平滑重新进入视界时的密度反差，不含转移函数，再用固定阈值的Press–Schechter高斯尾部估计塌缩比例。每个黑洞取视界质量的五分之一。模型没有包含临界塌缩、非高斯尾部、成团、形成后的吸积、蒸发与并合，相对论粒子自由度固定为106.75。观测曲线来自MIT许可的PBHconstraints仓库在固定提交中数字化的已发表单一质量限制。每条线性限制分别通过加权比值来使用，不拼成包络。引力波曲线只作单一质量参照，因为并合率与质量函数不是线性关系。画面中的密度切片是示意：用同一相关函数生成的约束高斯场，在中心放了一个稀有区域。原初黑洞仍是候选对象，并不是已经发现的天体族群。

逐一对照每张线性限制表，都允许。

模型：峰值尺度上的塌缩尾部

模型：今天的质量函数 $\psi(M)$

观测：已发表的单一质量限制（数字化）

EGR: 蒸发产生的河外光子背景
SUB: 昴星团望远镜HSC对M31的微引力透镜
OGLE: OGLE长时标微引力透镜
acc: CMB对吸积的限制
LIGO: LIGO–Virgo–KAGRA O3并合率

用每条限制给模型加权 $R_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\psi/f_{\max,j}$

具体数值，以及为什么不把曲线合并

$R_{\mathrm{EGR}}<10^{-4}$
$R_{\mathrm{SUB}}=0.08$
$R_{\mathrm{OGLE}}<10^{-4}$
$R_{\mathrm{acc}}<10^{-4}$
$R_{\mathrm{LIGO}}<10^{-4}$

每条限制都有自己的假设，所以不把它们拼成一条包络。引力波表只是单一质量参照：并合率取决于黑洞成对的情况，与数目不是线性关系。

数据：PBHconstraints仓库（MIT许可），提交ef2fb03。画面是示意性的场切片，不是数据。

核心问题: 为什么峰值只降低几个百分点，黑洞就几乎全没了？
一句话直觉: 塌缩比例位于高斯分布的远端尾部，它的对数与方差成反比；每项观测随后都要对整个质量函数加权比较。

核心数学模型

重新进入视界时的方差

\sigma^2(M_H)=\frac{16}{81}\int\mathrm{d}\ln k\,(kR)^4e^{-(kR)^2}\mathcal{P}_\zeta(k)

曲率功率谱给出在视界尺度上平滑后的密度方差。对窄峰来说，方差在峰值波数对应视界质量的两倍处最大。

塌缩比例

\beta=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{\delta_c}{\sqrt2\,\sigma}\right)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sigma}{\delta_c}\,e^{-\delta_c^2/2\sigma^2}

按照Press–Schechter估计，平滑密度反差超过阈值的区域都会塌缩。阈值远在许多个标准差之外时，右边的近似成立。

从质量函数到一条限制

R_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\frac{\psi(M)}{f_{\max,j}(M)}\le1

如果观测量与黑洞数目成线性关系，针对单一质量推出的限制就可以通过这个加权积分，约束一段质量分布。每项观测各算各的比值。

常见难点

直接在图上读限制

容易误解只要质量函数在每条限制曲线下方，就是允许的。

正确理解质量函数是每个对数质量区间里的密度，单一质量限制却是总量。两者只能通过每项观测的加权比值来比较。

允许不等于发现

容易误解某段质量没有限制，就说明那里有原初黑洞。

正确理解窗口敞开只说明这些观测还无法排除它们。至今没有确认任何一个原初黑洞。

动手实验

01
降低峰值
先选“小行星质量，构成全部暗物质”，再选“峰值降低15%”。
你会看到： 黑洞占暗物质的比例下降一百多倍，形成黑洞的质量却几乎不变。
02
滑进一条限制
把质量标尺上的手柄往更重的方向拖。
你会看到： 质量函数与昴星团透镜曲线重叠后，它的比值越过1，结论变成排除。
03
升高阈值
把金色阈值平面向上拖一点。
你会看到： 区域要达到更高的密度反差，塌缩比例急剧下降，第一张图里的尾部面积随之缩小。

来源与适用范围

读课程：从早期塌缩到质量函数限制

方差与尾部依据Young、Byrnes与Sasaki；丰度依据Sasaki等人；加权比值及其平方和合并依据Carr等人（2017）。Carr、Iovino、Perna、Vaskonen与Veermäe的2026年综述概括了当前限制，也提醒不要拿质量函数直接对照单一质量曲线。

独立核对包括直接的尾部积分、平坦与窄峰功率谱极限、论文给出的参考振幅，以及加权比值的窄分布极限。这些只检验数值，不检验模型略去的物理。

原初黑洞与暗物质限制

模型：峰值尺度上的塌缩尾部

模型：今天的质量函数 $\psi(M)$

观测：已发表的单一质量限制（数字化）

用每条限制给模型加权 $R_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\psi/f_{\max,j}$

稀有的尾部决定会形成多少黑洞

核心数学模型

重新进入视界时的方差

塌缩比例

从质量函数到一条限制

常见难点

直接在图上读限制

允许不等于发现

动手实验

降低峰值

滑进一条限制

升高阈值

来源与适用范围

相关实验与文章

文章

宇宙最初一秒里的黑洞

模型：峰值尺度上的塌缩尾部

模型：今天的质量函数 ψ(M)\psi(M)ψ(M)

观测：已发表的单一质量限制（数字化）

用每条限制给模型加权 Rj=∫dln⁡M ψ/fmax⁡,jR_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\psi/f_{\max,j}Rj​=∫dlnMψ/fmax,j​

核心数学模型

重新进入视界时的方差

塌缩比例

从质量函数到一条限制

常见难点

直接在图上读限制

允许不等于发现

动手实验

降低峰值

滑进一条限制

升高阈值

来源与适用范围

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宇宙最初一秒里的黑洞

模型：今天的质量函数 $\psi(M)$

用每条限制给模型加权 $R_j=\int\mathrm{d}\ln M\,\psi/f_{\max,j}$