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Sandbox Physics
原初黑洞：从早期塌缩到今天的观测限制L1

早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞

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一块区域重新进入视界时，如果密度反差超过约0.4到0.6的阈值，就会塌缩；黑洞拿走当时视界质量的固定一部分。视界质量和时间成正比，所以只要知道形成时刻，就知道黑洞质量。

视界质量和时间成正比

在辐射主导时期，膨胀率是H=1/(2t)H=1/(2t)。区域之间能互相影响的距离是哈勃半径c/Hc/H。弗里德曼方程给出平均密度ρ=3H2/(8πG)\rho=3H^2/(8\pi G)，这里的ρ\rho是能量密度除以c2c^2。半径为c/Hc/H的球里装的质量，就叫视界质量。

算出来，视界质量随时间线性增长，系数c3/Gc^3/G约为每秒2.03×1052.03\times10^{5}个太阳质量，粒子数据组把它取整为2×1052\times10^{5}。同样的式子再走一步还会发现：视界质量的施瓦西半径正好等于哈勃半径。一块区域刚进视界就塌缩，得到的黑洞和当时的视界差不多大。

MH=4π3ρ(cH)3=c32GH=c3tGM_H=\frac{4\pi}{3}\rho\left(\frac{c}{H}\right)^3=\frac{c^3}{2GH}=\frac{c^3t}{G}
先代入ρ=3H2/(8πG)\rho=3H^2/(8\pi G)，再代入H=1/(2t)H=1/(2t)。
rs(MH)=2GMHc2=cHr_s(M_H)=\frac{2GM_H}{c^2}=\frac{c}{H}
视界质量恰好处在它自己的施瓦西半径上。

对应阅读：Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025) · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

哪些区域会塌缩

用密度反差δ=(ρ−ρˉ)/ρˉ\delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho描述一块区域，并在它重新进入视界的时刻按视界尺度做平滑。区域比视界大时，只是跟着整体一起膨胀；进入视界后，压强开始抵抗塌缩。只有δ\delta超过阈值δc\delta_c的区域，才能赶在压强占上风之前塌下去。

δc\delta_c取多少，要看密度剖面的形状，也要看δ\delta具体怎样定义。Harada、Yoo和Kohri给出的解析估计是：辐射时期、按数值模拟常用的量度，约为0.41。2026年的综述在一个例子里取0.55。Lab里δc\delta_c可以在0.35到0.65之间调，默认是0.45。

对应阅读：Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013) · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

黑洞保留视界质量的一部分

黑洞质量写成M=γMHM=\gamma M_H。粒子数据组给出辐射主导时γ≃(1/3)3≈0.19\gamma\simeq(1/\sqrt3)^3\approx0.19，Sasaki等人取γ=0.2\gamma=0.2，这套课程也取0.2。细致的塌缩模拟里，质量还和区域超出阈值多少有关，同一时刻形成的黑洞因此有大有小。Lab让每个形成时刻只对应一个质量，质量的分布只来自早期密度峰在尺度上的宽度。

M=γMH≈γ c3tG≈4×104 M⊙(t1 s)(γ=0.2)M=\gamma M_H\approx\gamma\,\frac{c^3t}{G}\approx4\times10^{4}\,\mathrm{M}_\odot\left(\frac{t}{1\,\mathrm{s}}\right)\quad(\gamma=0.2)
形成时刻决定质量，越重的黑洞形成得越晚。

对应阅读：Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025) · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1 · Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

算两个例子：小行星质量和恒星质量

取Lab默认的峰值质量M=3.16×10−11 M⊙M=3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot，约6×10196\times10^{19}千克。视界质量是M/γ=1.58×10−10 M⊙M/\gamma=1.58\times10^{-10}\,\mathrm{M}_\odot，除以2.03×105 M⊙ s−12.03\times10^{5}\,\mathrm{M}_\odot\,\mathrm{s}^{-1}，形成时刻是7.8×10−167.8\times10^{-16}秒。黑洞的施瓦西半径是2.95 km×3.16×10−11≈932.95\,\mathrm{km}\times3.16\times10^{-11}\approx93纳米，正好是当时哈勃半径2ct≈4702ct\approx470纳米的五分之一。

再取M=30 M⊙M=30\,\mathrm{M}_\odot，这是引力波目录里常见的质量。视界质量是150 M⊙150\,\mathrm{M}_\odot，形成时刻是7.4×10−47.4\times10^{-4}秒。两个例子的质量和形成时刻都差了约101210^{12}倍。一个横跨许多数量级的黑洞质量函数，对应的是最初一秒里很长的一段历史。

对应阅读：Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025) · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

蒸发决定最轻的幸存者

黑洞通过霍金辐射损失质量，越轻损失得越快。按2026年综述的说法，出生时约5×10145\times10^{14}克、也就是2.5×10−19 M⊙2.5\times10^{-19}\,\mathrm{M}_\odot的无自旋黑洞，正在今天蒸发完毕。Lab的质量标尺从10−18 M⊙10^{-18}\,\mathrm{M}_\odot开始，在这条边界之上，并且忽略幸存黑洞蒸发掉的那一点质量。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025)

看一块区域进入视界并塌缩

  1. 先预测：把黑洞质量从10−1110^{-11}拖到10−510^{-5}倍太阳质量，这块区域晚了多久形成？
  2. 沿标尺拖动质量手柄，读出“最常见的黑洞质量”，用t=M/(γ c3/G)t=M/(\gamma\,c^3/G)检验你的预测。
  3. 把阈值平面往上拖一点，看“塌缩的视界区域比例”怎样下降。

练习与解释性答案

  1. 取γ=0.2\gamma=0.2，一个太阳质量的黑洞是在宇宙诞生后多久形成的？

    展开解释

    视界质量是M/γ=5 M⊙M/\gamma=5\,\mathrm{M}_\odot，除以2.03×105 M⊙ s−12.03\times10^{5}\,\mathrm{M}_\odot\,\mathrm{s}^{-1}，得到t≈2.5×10−5t\approx2.5\times10^{-5}秒。

  2. 只用MH=c3/(2GH)M_H=c^3/(2GH)，证明rs(MH)=c/Hr_s(M_H)=c/H。

    展开解释

    rs=2GMH/c2=2G c3/(2GH c2)=c/Hr_s=2GM_H/c^2=2G\,c^3/(2GH\,c^2)=c/H。这个结果不依赖辐射时期：在任何平直的弗里德曼宇宙里，MH=c3/(2GH)M_H=c^3/(2GH)都可以由临界密度直接得到。

  3. 如果真实的效率是γ=0.1\gamma=0.1，3.16×10−11 M⊙3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot的黑洞在什么时候形成？Lab里从功率谱峰到黑洞质量的对应会怎样变？

    展开解释

    视界质量翻倍，变成3.16×10−10 M⊙3.16\times10^{-10}\,\mathrm{M}_\odot，形成时刻也翻倍，约1.6×10−151.6\times10^{-15}秒。同一个早期密度峰形成的黑洞都会轻一半；每块塌缩区域换算到今天的丰度也会变，因为它正比于γ MH−1/2\gamma\,M_H^{-1/2}，下一章推导这个关系。

来源，以及每篇读了多少

  1. Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

    综述；arXiv 标注期刊信息 Riv. Nuovo Cim. (2026)。通读第II.A.2节（非高斯性）、IV.C（引力波）、IV.E（吸积）、V（小行星质量窗口）、VI（式25至29）以及图2至图6的图注；第II、III节读了部分。

  2. Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

    全文。单个观测量的线性规则（式12）和多个观测量的平方和合并（式13），以及它们成立的前提。

  3. Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

    第2.3节式21至31：视界质量、塌缩效率，以及形成比例换算成今天的丰度。

  4. Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013)

    只读了摘要。摘要给出辐射主导时，数值模拟所用量度下的阈值约为0.41。

  5. Particle Data Group · Review 27, Dark Matter (2025 edition, 1 December 2025)

    第27.1、27.3和27.7节：形成时刻与质量、几类主要限制，以及大约101710^{17}到102110^{21}克的窗口。

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