跳到主要内容
Sandbox Physics
原初黑洞：从早期塌缩到今天的观测限制L2

高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量

Sandbox Physics ·

塌缩比例是高斯分布在七个标准差以外那一小截尾巴的面积。它的对数和方差成反比，所以功率谱峰降低15%，黑洞就少掉约99%。塌缩形成的黑洞随宇宙膨胀，相对辐射越来越重，于是约10−1310^{-13}的塌缩比例就足以构成全部暗物质。

从曲率功率谱到密度方差

暴胀一类模型用曲率功率谱Pζ(k)\mathcal{P}_\zeta(k)描述早期起伏：每个对数波数区间里，曲率扰动贡献多少方差。Lab用一个对数正态形的峰，振幅AA，宽度Δ\Delta，中心在波数k∗k_*。

决定是否塌缩的，是重新进入视界时按视界尺度RR平滑的密度反差。辐射时期，视界附近的密度反差是曲率扰动的(4/9)(kR)2(4/9)(kR)^2倍，平方后密度功率带上因子(16/81)(kR)4(16/81)(kR)^4。用高斯窗口平滑，方差就是下面的积分（Young、Byrnes与Sasaki）。比RR长得多的模式被(kR)4(kR)^4压低，短得多的模式被窗口截掉。

模式在k=aHk=aH时进入视界。辐射时期a∝t1/2a\propto t^{1/2}，H=1/(2t)H=1/(2t)，所以aH∝t−1/2aH\propto t^{-1/2}，视界质量满足MH∝t∝k−2M_H\propto t\propto k^{-2}。记k∗k_*进入视界时的视界质量为M∗M_*，就有k∗R=(MH/M∗)1/2k_*R=(M_H/M_*)^{1/2}。

Pζ(k)=A2π Δexp⁡ ⁣[−ln⁡2(k/k∗)2Δ2]\mathcal{P}_\zeta(k)=\frac{A}{\sqrt{2\pi}\,\Delta}\exp\!\left[-\frac{\ln^2(k/k_*)}{2\Delta^2}\right]
对ln⁡k\ln k积分得到AA：振幅就是峰里的总功率。
σ2(MH)=1681∫dln⁡k (kR)4e−(kR)2 Pζ(k),k∗R=(MHM∗)1/2\sigma^2(M_H)=\frac{16}{81}\int\mathrm{d}\ln k\,(kR)^4e^{-(kR)^2}\,\mathcal{P}_\zeta(k),\qquad k_*R=\left(\frac{M_H}{M_*}\right)^{1/2}
16/8116/81就是(4/9)2(4/9)^2。高斯窗口e−(kR)2e^{-(kR)^2}是一种约定，换别的窗口，方差会差一个量级为1的因子。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045 · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

两个可以手算检验的极限

峰非常窄时，把功率谱换成A δ(ln⁡k−ln⁡k∗)A\,\delta(\ln k-\ln k_*)，积分只剩一点。记r=MH/M∗r=M_H/M_*，方差变成(16/81)A r2e−r(16/81)A\,r^2e^{-r}。令r2e−rr^2e^{-r}的导数为零，得到r=2r=2：方差在峰值尺度视界质量的两倍处最大，塌缩也最多。所以Lab把最常见的黑洞质量写成Mc=2γM∗M_c=2\gamma M_*。

峰非常宽时，Pζ\mathcal{P}_\zeta在窗口内几乎不变，剩下的积分∫0∞x3e−x2dx=1/2\int_0^\infty x^3e^{-x^2}\mathrm{d}x=1/2，于是σ2=8Pζ/81\sigma^2=8\mathcal{P}_\zeta/81。参考程序对平坦极限的误差是十万分之六，对窄峰极限是十万分之三。

σnarrow2=1681A r2e−r,σflat2=881Pζ\sigma^2_{\rm narrow}=\frac{16}{81}A\,r^2e^{-r},\qquad \sigma^2_{\rm flat}=\frac{8}{81}\mathcal{P}_\zeta
两个极限都直接来自同一个积分，不需要额外假设。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045

塌缩比例是很远的尾巴

如果平滑后的密度反差服从方差为σ2\sigma^2的高斯分布，Press–Schechter估计给出：视界质量为MHM_H时塌缩的质量比例，等于超过阈值的概率乘以2。这个2来自Press–Schechter理论的约定，Young、Byrnes与Sasaki比较过其他取法。

Lab默认的峰值处，σ=0.0616\sigma=0.0616，δc=0.45\delta_c=0.45，阈值在ν=δc/σ=7.31\nu=\delta_c/\sigma=7.31个标准差以外，β=2.74×10−13\beta=2.74\times10^{-13}。右边的渐近式在这个ν\nu下偏高1.8%，Lab和参考程序都直接算完整的函数。

β(MH)=2∫δc∞e−δ2/2σ22π σ dδ=erfc⁡ ⁣(δc2 σ)≈2π 1ν e−ν2/2\beta(M_H)=2\int_{\delta_c}^{\infty}\frac{e^{-\delta^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\mathrm{d}\delta=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{\delta_c}{\sqrt2\,\sigma}\right)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{1}{\nu}\,e^{-\nu^2/2}
独立核验用40位精度直接积分尾部，ν\nu从1到25，与闭式结果的相对差小于10−3010^{-30}。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045 · Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

算一个例子：降低15%为什么少了99%

把振幅从A=0.0608A=0.0608降到0.05160.0516，乘了0.849。峰值处的方差也乘0.849，σ\sigma从0.0616降到0.0568，ν\nu从7.31升到7.93。

指数ν2/2\nu^2/2从26.7变成31.4，差4.74，合2.06个数量级；前面的1/ν1/\nu再贡献0.04个数量级。估计下降2.10个数量级，完整计算在峰值处是2.09。对所有质量积分，暗物质占比从0.986降到0.0074，少了133倍。早期功率谱稍微一动，答案就差几个数量级；一个丰度数值靠不靠得住，要看它背后的阈值、窗口和统计假设。

dln⁡βdln⁡σ2≈ν22\frac{\mathrm{d}\ln\beta}{\mathrm{d}\ln\sigma^2}\approx\frac{\nu^2}{2}
ν≈7\nu\approx7时，方差变1%，β\beta约变27%。

对应阅读：Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045 · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

从塌缩比例到今天的暗物质占比

刚形成时，黑洞占能量密度的γβ\gamma\beta。此后黑洞的密度按a−3a^{-3}下降，辐射按a−4a^{-4}下降，黑洞的占比和aa成正比地增长，直到物质主导。越早形成的黑洞，增长的余地越大。形成时a∝t1/2∝MH1/2a\propto t^{1/2}\propto M_H^{1/2}，所以今天的占比正比于γβMH−1/2\gamma\beta M_H^{-1/2}。

把常数收拢，得到质量函数ψ\psi：每个对数质量区间占暗物质的比例，对它积分就是总比例ff。取相对论自由度g∗=106.75g_*=106.75、ΩDM=0.264\Omega_{\rm DM}=0.264、H0=67.4 km s−1 Mpc−1H_0=67.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}，系数C=3.77×108C=3.77\times10^{8}。在Sasaki等人的参考值g∗=10.75g_*=10.75下改写成他们式27的形式，比他们取整的2.7×1082.7\times10^{8}高11%。差别来自宇宙学参数，这里如实报告，不去调平。

默认峰值处MH=1.58×10−10 M⊙M_H=1.58\times10^{-10}\,\mathrm{M}_\odot，γCMH−1/2=6.0×1012\gamma C M_H^{-1/2}=6.0\times10^{12}，再乘β=2.74×10−13\beta=2.74\times10^{-13}，峰值处ψ≈1.6\psi\approx1.6。质量分布在ln⁡M\ln M上的有效宽度约0.6，所以f≈1f\approx1。

ψ(M)=dfdln⁡M=γ β(MH) C(MHM⊙)−1/2,M=γMH,f=∫ψ dln⁡M\psi(M)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\ln M}=\gamma\,\beta(M_H)\,C\left(\frac{M_H}{\mathrm{M}_\odot}\right)^{-1/2},\qquad M=\gamma M_H,\qquad f=\int\psi\,\mathrm{d}\ln M
稀有尾部β\beta和增长因子MH−1/2M_H^{-1/2}一起决定一个数量级的质量里装了多少暗物质。

对应阅读：Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1 · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

这个模型略去了什么

上面每一步都假设统计是高斯的，曲率到密度的换算是线性的。2026年综述强调，真实情形里这两条都不成立：曲率和密度之间的非线性关系，以及曲率本身一开始就非高斯，都会让尾部按指数改变。阈值还取决于剖面形状，临界塌缩也会让同一时刻形成的黑洞质量有大有小。用本章的公式看清各部分怎样衔接；要相信某个具体数值，先去读综述。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013)

体会尾部有多陡

  1. 先预测：峰的振幅降低15%，暗物质占比会降多少？
  2. 选“峰值降低15%”，把塌缩比例和暗物质占比与你的预测对比。
  3. 回到默认，把阈值从0.45调到0.47，解释为什么变化和振幅降低约8%差不多大。

练习与解释性答案

  1. 平坦功率谱、δc=0.5\delta_c=0.5时，振幅多大才得到β=10−20\beta=10^{-20}？和Young、Byrnes与Sasaki给出的界比较。

    展开解释

    解erfc⁡(0.5/2σ)=10−20\operatorname{erfc}(0.5/\sqrt{2}\sigma)=10^{-20}，其中σ2=8Pζ/81\sigma^2=8\mathcal{P}_\zeta/81。需要ν=9.34\nu=9.34，即σ=0.0535\sigma=0.0535、Pζ=0.0290\mathcal{P}_\zeta=0.0290，和他们给出的0.029一致。

  2. σ=0.0616\sigma=0.0616时，把阈值从0.45提高到0.47，β\beta变多少？

    展开解释

    ν\nu从7.31变成7.63，log⁡10β\log_{10}\beta从−12.56-12.56变成−13.63-13.63，少了12倍。阈值提高4%，相当于方差降低8%，因为ν2\nu^2取决于δc2/σ2\delta_c^2/\sigma^2。

  3. ψ(M)\psi(M)的峰为什么比窄峰极限给出的Mc=2γM∗M_c=2\gamma M_*稍轻？

    展开解释

    ψ\psi在β\beta之外还乘了MH−1/2M_H^{-1/2}，偏向较轻的质量；有限宽度Δ\Delta也会挪动方差最大的位置。默认状态下滑块读数是3.98×10−11 M⊙3.98\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot，而在Lab步长0.05个数量级的网格上，质量函数的峰在3.16×10−11 M⊙3.16\times10^{-11}\,\mathrm{M}_\odot，轻了约0.1个数量级。

来源，以及每篇读了多少

  1. Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

    综述；arXiv 标注期刊信息 Riv. Nuovo Cim. (2026)。通读第II.A.2节（非高斯性）、IV.C（引力波）、IV.E（吸积）、V（小行星质量窗口）、VI（式25至29）以及图2至图6的图注；第II、III节读了部分。

  2. Young, Byrnes & Sasaki · Calculating the mass fraction of primordial black holes · arXiv:1405.7023v4, JCAP 1407 (2014) 045

    第1至4.2节：高斯窗口平滑的密度方差、Press–Schechter尾部估计，以及用来独立核验的式28数值。

  3. Sasaki, Suyama, Tanaka & Yokoyama · Primordial black holes: perspectives in gravitational wave astronomy · arXiv:1801.05235v1

    第2.3节式21至31：视界质量、塌缩效率，以及形成比例换算成今天的丰度。

  4. Harada, Yoo & Kohri · Threshold of primordial black hole formation · arXiv:1309.4201v4, Phys. Rev. D 88, 084051 (2013)

    只读了摘要。摘要给出辐射主导时，数值模拟所用量度下的阈值约为0.41。

继续阅读

这一页直接连着哪些内容

当前页面高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量

实验

文章

宇宙最初一秒里的黑洞 · 阅读路径

宇宙最初一秒里的黑洞

  1. 文章比恒星还早的黑洞，今天该怎样找
  2. 文章早期宇宙里的一块高密度区域怎样变成黑洞
  3. 当前页面高斯分布的稀有尾部怎样决定原初黑洞的数量
  4. 文章黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测
  5. 文章把微引力透镜限制推广到有质量分布的黑洞
  6. 文章怎样读2026年的原初黑洞综述
这个页面有错误、看不明白，或者缺了什么？告诉我们
反馈类型

提交时会附带本页地址、Lab ID、网站语言和设备类型。请不要填写个人信息。反馈最多保存 12 个月。隐私政策