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Sandbox Physics
原初黑洞：从早期塌缩到今天的观测限制L3

黑洞质量有分布时，怎样同时对照多项观测

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如果观测信号是各个黑洞贡献之和，质量函数被允许的条件是ψ/fmax⁡\psi/f_{\max}对ln⁡M\ln M的积分不超过1。每项观测各算各的比值。要把几项合并，或者画一条穿过所有曲线的包络，都得先写明前提；并合率则根本不满足这条线性规则。

限制曲线管总量，质量函数是密度

发表的曲线fmax⁡(M)f_{\max}(M)只回答一个问题：如果所有黑洞的质量都是MM，它们一共最多能占暗物质的多少？质量函数ψ(M)=df/dln⁡M\psi(M)=\mathrm{d}f/\mathrm{d}\ln M是另一种量，表示每个对数质量区间里的比例。把ψ\psi画在同一张图上，看它是不是处处低于每条曲线，等于拿密度去比总量。2026年综述第VI节明确指出了这一点。

举个例子看错得有多远。ln⁡M\ln M宽度σ=2\sigma=2、f=1f=1的对数正态分布，峰高只有1/(2π 2)=0.201/(\sqrt{2\pi}\,2)=0.20。它可以处处低于一条0.3的曲线，装的暗物质却是这条曲线在任何单一质量下允许值的三倍多。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

推导单项线性观测的加权比值

设观测量A\mathcal{A}被测量限制为A≤Aexp\mathcal{A}\le\mathcal{A}_{\rm exp}。如果每个黑洞对它的贡献互不影响，它对ψ\psi就是线性的：背景A0\mathcal{A}_0加上一个积分，核函数A1(M)\mathcal{A}_1(M)包含了物理过程和仪器特性。

只有一个质量时，ψ=f δ(ln⁡M−ln⁡Mc)\psi=f\,\delta(\ln M-\ln M_c)，限制变成f≤(Aexp−A0)/A1(Mc)≡fmax⁡(Mc)f\le(\mathcal{A}_{\rm exp}-\mathcal{A}_0)/\mathcal{A}_1(M_c)\equiv f_{\max}(M_c)。也就是说，发表的曲线告诉了我们核函数，只差一个常数。把A1=(Aexp−A0)/fmax⁡\mathcal{A}_1=(\mathcal{A}_{\rm exp}-\mathcal{A}_0)/f_{\max}代回一般形式，就得到加权比值。这是Carr等人2017年的式12，也是2026年综述的式25至28。

A[ψ]=A0+∫dln⁡M A1(M) ψ(M)≤Aexp\mathcal{A}[\psi]=\mathcal{A}_0+\int\mathrm{d}\ln M\,\mathcal{A}_1(M)\,\psi(M)\le\mathcal{A}_{\rm exp}
线性的意思是：没有哪一项同时牵涉两个黑洞。
Rj≡∫dln⁡M ψ(M)fmax⁡,j(M)≤1R_j\equiv\int\mathrm{d}\ln M\,\frac{\psi(M)}{f_{\max,j}(M)}\le1
对每项观测jj分别使用。表格没有数据的质量范围里，这项观测贡献为零，那里的质量等于没被它检验过。

对应阅读：Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017) · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

质量分散开，限制变松还是变紧

令u=ln⁡(M/Mc)u=\ln(M/M_c)，g(u)=1/fmax⁡g(u)=1/f_{\max}。对宽度为σ\sigma、左右对称的窄分布，把gg展开到二阶，一阶项平均为零，剩下下面的修正。1/fmax⁡1/f_{\max}在ln⁡M\ln M上向上弯的地方，分布越宽限制越紧；向下弯的地方，越宽越松。

方法教程用昴星团微引力透镜的表格检验了这一点。中心在10−8 M⊙10^{-8}\,\mathrm{M}_\odot时，1/fmax⁡1/f_{\max}正从10−9 M⊙10^{-9}\,\mathrm{M}_\odot附近的峰往下走，曲线向下弯；宽度加到σ=0.5\sigma=0.5，允许的比例从0.00949升到0.00964。中心在10−6 M⊙10^{-6}\,\mathrm{M}_\odot时，1/fmax⁡1/f_{\max}向上弯，同样的宽度让它从0.169降到0.160。哪个方向都不能想当然。

R≈f[g(0)+σ22 g′′(0)],g(u)=1fmax⁡(Mceu)R\approx f\left[g(0)+\frac{\sigma^2}{2}\,g''(0)\right],\qquad g(u)=\frac{1}{f_{\max}(M_ce^{u})}
要求σ\sigma比gg改变弯曲方向的尺度小。

对应阅读：Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

多项观测：先分别算比值

稳妥的说法是：每个比值RjR_j都不能超过1。Carr等人2017年在附录里还推导了一个合并检验，前提是：各观测量互相独立、误差是高斯的、都对ψ\psi线性、没有黑洞时期望值正好是背景，并且每条限制取同样的置信水平。满足这些前提，卡方统计量就把各比值按平方和合并。

同一个附录也说明了为什么一条包络曲线不是捷径。把所有观测折成一条曲线fmax⁡=(∑jfmax⁡,j−2)−1/2f_{\max}=(\sum_j f_{\max,j}^{-2})^{-1/2}，再套用单项规则，由三角不等式可知会高估限制。每个质量处取最低那条曲线，也有同样的毛病。Lab因此把每个比值单独显示，平方和合并只放在折叠面板里，而且只对线性的表格计算。

在Lab的恒星质量预设里，OGLE比值是3.06，宇宙微波背景吸积比值是3.58，单看任何一项都已排除这个分布。两者的平方和合并是4.71，这个数要求上面的前提都成立。

∑j(∫dln⁡M ψfmax⁡,j)2≤1\sum_{j}\left(\int\mathrm{d}\ln M\,\frac{\psi}{f_{\max,j}}\right)^2\le1
Carr等人2017年式13及附录；Carr等人2026年式29。

对应阅读：Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017) · Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Mróz, Udalski et al. · No massive black holes in the Milky Way halo · arXiv:2403.02386v3, Nature 632, 749 (2024) · Serpico, Poulin, Inman & Kohri · Cosmic microwave background bounds on primordial black holes including dark matter halo accretion · arXiv:2002.10771v2, Phys. Rev. Research 2, 023204 (2020)

线性规则在哪里失效

并合牵涉两个黑洞，并合率里有一项含两次ψ\psi，上面的规则不适用。成团、星系里的质量分层和结构形成，也会让观测量同时依赖不止一个黑洞。综述点名受影响的有莱曼阿尔法森林限制、动力学限制，程度轻一些的还有透镜和吸积限制。

Lab把LIGO-Virgo-KAGRA的表画出来只作参考，它的比值用灰色显示。恒星质量预设里这个数是443，但这不是规则的有效用法。O3分析本身用分层方法直接拟合多种质量函数，在它考虑的每种情形里，1到200倍太阳质量的黑洞最多约占暗物质的10−310^{-3}。

黑洞形成后质量还可能改变。吸积会让重的黑洞长大，十倍太阳质量以上的限制随之变松；成团又会增强吸积，让限制变紧。综述建议把质量函数理解为已经包含这些变化的有效质量函数，不同观测对应的有效质量函数可能不同。Lab始终使用形成时的质量函数。

对应阅读：Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026) · Andrés-Carcasona, Iovino, Vaskonen & Veermäe · Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events · arXiv:2405.05732v2, Phys. Rev. D 110, 023040 (2024) · Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

把每条限制读成它自己的加权比值

  1. 选“被微引力透镜排除”，先预测哪个比值超过1，再看条形图。
  2. 选“恒星质量的原初黑洞”，打开约定面板，比较最大的单项比值和平方和合并值。
  3. 慢慢把质量手柄拖过昴星团曲线，记下比值第一次超过1的位置，再和曲线看起来最低的位置比较。

练习与解释性答案

  1. 证明：在单项规则里改用每个质量处最低的曲线fenv(M)=min⁡jfmax⁡,j(M)f_{\rm env}(M)=\min_j f_{\max,j}(M)，得到的比值不小于任何一个RjR_j。为什么它不是推导出来的限制？

    展开解释

    每个质量处对所有jj都有1/fenv≥1/fmax⁡,j1/f_{\rm env}\ge1/f_{\max,j}，又有ψ≥0\psi\ge0，所以积分不小于每个RjR_j。单项规则是针对一个观测量、一个核函数推出来的。包络在不同质量处换用不同的核，对应不到任何一次测量，也没有写明的似然函数，所以它的数值没有概率意义。

  2. 昴星团表格在log⁡10(M/M⊙)=−8.2, −8.0, −7.8\log_{10}(M/\mathrm{M}_\odot)=-8.2,\ -8.0,\ -7.8处给出1/fmax⁡=120.5, 105.4, 86.91/f_{\max}=120.5,\ 105.4,\ 86.9，在−6.2, −6.0, −5.8-6.2,\ -6.0,\ -5.8处给出8.27, 5.92, 4.048.27,\ 5.92,\ 4.04。用二阶公式预测：在这两个中心，把分布加宽会让限制变松还是变紧？

    展开解释

    二阶差分分别是120.5−2(105.4)+86.9=−3.4120.5-2(105.4)+86.9=-3.4和8.27−2(5.92)+4.04=+0.478.27-2(5.92)+4.04=+0.47。所以在10−8 M⊙10^{-8}\,\mathrm{M}_\odot处g′′(0)<0g''(0)<0，加宽让单位ff对应的RR变小，限制变松；在10−6 M⊙10^{-6}\,\mathrm{M}_\odot处g′′(0)>0g''(0)>0，限制变紧。教程里的完整积分在两处都给出同样的结论。

  3. 两项线性观测给出R1=3.06R_1=3.06、R2=3.58R_2=3.58。平方和合并是多少？如果一项按95%置信水平给出、另一项按99%，会怎样？

    展开解释

    3.062+3.582=4.71\sqrt{3.06^2+3.58^2}=4.71。推导要求所有限制取同一置信水平，因为每个fmax⁡,jf_{\max,j}都是核函数乘上同样多个标准差。置信水平不同时，必须先换算到同一水平再合并；否则只有分别检验站得住。

来源，以及每篇读了多少

  1. Carr, Iovino, Perna, Vaskonen & Veermäe · Primordial black holes: constraints, potential evidence and prospects · arXiv:2601.06024v2 (1 April 2026)

    综述；arXiv 标注期刊信息 Riv. Nuovo Cim. (2026)。通读第II.A.2节（非高斯性）、IV.C（引力波）、IV.E（吸积）、V（小行星质量窗口）、VI（式25至29）以及图2至图6的图注；第II、III节读了部分。

  2. Carr, Raidal, Tenkanen, Vaskonen & Veermäe · Primordial black hole constraints for extended mass functions · arXiv:1705.05567v3, Phys. Rev. D 96, 023514 (2017)

    全文。单个观测量的线性规则（式12）和多个观测量的平方和合并（式13），以及它们成立的前提。

  3. Mróz, Udalski et al. · No massive black holes in the Milky Way halo · arXiv:2403.02386v3, Nature 632, 749 (2024)

    只读了摘要。OGLE二十年观测约8000万颗大麦哲伦云恒星，没有长于一年的事件，因此1.8×10−41.8\times10^{-4}到6.3倍太阳质量的致密天体最多占暗物质的1%。

  4. Serpico, Poulin, Inman & Kohri · Cosmic microwave background bounds on primordial black holes including dark matter halo accretion · arXiv:2002.10771v2, Phys. Rev. Research 2, 023204 (2020)

    只读了摘要。吸积改变宇宙微波背景记录的电离历史；在1万倍太阳质量附近，限制达到3×10−93\times10^{-9}，结果依赖吸积物理。

  5. Andrés-Carcasona, Iovino, Vaskonen & Veermäe · Constraints on primordial black holes from LIGO-Virgo-KAGRA O3 events · arXiv:2405.05732v2, Phys. Rev. D 110, 023040 (2024)

    只读了摘要。用多种质量函数对O3并合事件做分层贝叶斯分析，1到200倍太阳质量之间原初黑洞最多约占暗物质的千分之一。

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