光学 046 · 干涉、相干、光腔与精密测量

LIGO 干涉仪

千米长的干涉仪，怎样把经过的引力波变成测得到的信号？ 引力波经过时，一条臂被拉长，另一条被压短，两臂回来的光就有了相位差。臂里的光学腔让光来回跑很多趟，攒下更大的相移；功率回收镜把朝激光器返回的光再送进去，提高腔内功率。输出端故意偏离完全暗一点点，漏出的光强就随相位差线性变化。

光学核心的剖面展示悬挂的测试质量、半透射的臂腔镜和载波功率回收。可以追踪储存光的复数响应、模拟的光电单频信号，以及明确为假设的差模应变噪声曲线。

注入差模位移／相位振幅

A_{x-y},A_\phi

$0.50$

光电载波功率／一阶信号

P_{\mathrm{DC}},A_{\mathrm{AC}}

$50\%$

单臂载波功率／假设差模灵敏度

P_x,\sqrt{S_h}(f)

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

LIGO 干涉仪

参考注入幅度指数（共模不是引力应变）

e_h

-21

信号频率

\nu

120\,\mathrm{Hz}

共模混合（零为纯差模，一为纯共模）

q

0

臂腔输入镜功率透射率

T_{\mathrm{ITM}}

1.40\%

双臂透射率相对失配

\epsilon_T

0\%

功率回收镜透射率（百分之百为移除）

T_{\mathrm{PRM}}

3\%

标定等效暗端相位偏置

\beta_0

30\,\mathrm{mrad}

输入激光功率

P_{\mathrm{in}}

25\,\mathrm W

假设位移噪声谱幅度倍数

a_n

1

从裸 Michelson 开始，调向共模：两臂同向等量的变化相互抵消。加入 Fabry–Pérot 臂腔再扫频：储存的光增强了相位，但也让快速运动的信号延迟、变弱。功率回收预设提高载波功率；它的噪声曲线是假设，不是 LIGO 数据。把读出偏置设为零，一阶 DC 探测就失效了。拖动可旋转视角；3D 运动经过归一化并放慢，并不是光子的真实动画。

臂腔理想、无损、共振、单模，读出是带等效相位偏置的线性读出。不考虑信号回收、反馈标定、chirp、真实探测器噪声谱、辐射压量子关联和天体参数反演。臂长经过压缩，镜面大小和运动只是示意。这不是完整的 Advanced LIGO 模拟器。

物理教程

检验LIGO 干涉仪的物理过程

背景设一束加偏振引力波从正上方射来，取向让响应最大，波长又远大于臂长。两臂长度差的变化是 $\Delta L=Lh$ 。一条臂伸长这个量的一半，另一条臂缩短同样多。实验里可以混入的共模运动是人为注入的扰动，不是另一种引力波偏振。3994.5 米臂长和 1064 纳米真空波长取自 2015 年 Advanced LIGO 仪器论文，但这个简化的光学核心并不是完整的仪器。

为什么值得理解千米长的干涉仪，怎样把经过的引力波变成测得到的信号？

先抓重点

核心问题: 千米长的干涉仪，怎样把经过的引力波变成测得到的信号？
一句话直觉: 输出端口完全暗时，光强只随小相位变化的平方改变。加上标定过的载波偏置，就得到一阶的线性信号： $P_{\mathrm{AC}}\simeq\frac{P_{\mathrm{BS}}\sin\beta_0}{2}\,\delta\phi$ 。偏置为零时，线性 DC 读出失效，这时不给出灵敏度。真实 LIGO 让臂腔稍微失谐来产生本振，还装有输出模式清洁器。本实验把本振当作等效相位偏置，不求解失谐臂腔，也不求解输出模式清洁器。

核心数学模型

注入的差模与共模臂长运动

\begin{aligned}\delta L_x(t)&=\tfrac12 Lh_0\sin(2\pi ft)\\\delta L_y(t)&=(2q-1)\delta L_x(t)\\\Delta L(t)&=(1-q)Lh_0\sin(2\pi ft)\end{aligned}

混合量 q 从纯差模运动变到两臂同向等幅的共模运动。输入是振幅已知的模拟单频信号，不是从噪声数据里重建出来的。共模振幅不算作引力应变。物理曲线保留米和瓦的单位；3D 几何用固定的归一化位移，每四秒循环一次。

臂腔储光是延迟光场的相干叠加

\begin{aligned}r&=\sqrt{1-T},\quad\tau=2L/c\\H(f)&=\frac{(1+r)e^{-i\pi f\tau}}{1-re^{-i2\pi f\tau}}\\H(0)&=\frac{1+r}{1-r}\end{aligned}

理想全反射端镜和无损输入镜组成一个共振臂腔，光只从输入镜进出。每多一次往返，就多叠加一份延迟的光场，权重再乘一个 r。频率取正，复响应乘在输入单频信号上。输入透射率越低，零频相位增益越大，带宽却越窄。裸 Michelson 只保留传播延迟。模型不求解光学损耗、横模或锁定过程。

两臂失配时共模会泄漏

\begin{aligned}T_x&=T(1+\epsilon_T),\ T_y=T(1-\epsilon_T)\\H_D&=\tfrac12[H_x-(2q-1)H_y]\\\delta\phi(f)&=\frac{4\pi L}{\lambda_0}H_D(f)h(f)\end{aligned}

在这个理想标量模型里，两臂匹配时共模运动被完全抵消。两块输入镜透射率不同，两臂的增益和延迟也就不同，即使几何差模位移为零，也会留下残余信号。响应曲线和噪声参考始终用纯差模标定信号，光电曲线则用所选的混合。10–1000 赫兹范围假设引力波波长远大于臂长，没有包含完整的、随方向变化的引力波响应。

功率回收提高载波功率，不是相位增益

\begin{aligned}B_P&=\frac{T_P}{[1-\sqrt{1-T_P}\cos(\beta_0/2)]^2}\\P_{\mathrm{BS}}&=B_PP_{\mathrm{in}}\\P_{\mathrm{DC}}&=P_{\mathrm{BS}}\sin^2(\beta_0/2)\end{aligned}

共振、无损的回收腔把亮端的载波送回去重复利用。稳态下，反射功率加上暗端输出功率正好等于输入功率。臂内功率用的是同一个分束器功率和共振积累。小信号计算把载波功率固定在这个 DC 平衡点上，不考虑回收镜的动态耦合，也不考虑随偏置变化的振幅反馈，一阶项也一样略去。这是分块近似，不是精确的耦合光学传递。透射率设为百分之百，就等于拿掉这块镜子。理想增益可能高于论文报告的实际增益。模型没有信号回收，它和功率回收是两回事。

假设的噪声，不是实测频谱

\begin{aligned}\sqrt{S_{P,\mathrm{shot}}}&=\sqrt{2(h_Pc/\lambda_0)P_{\mathrm{DC}}}\\\sqrt{S_{h,\mathrm{shot}}}&=\frac{\sqrt{S_{P,\mathrm{shot}}}}{|\partial P_{\mathrm{AC}}/\partial h|}\\S_{h,\mathrm{total}}&=S_{h,\mathrm{shot}}+S_{h,\mathrm{res}}+S_{h,\mathrm{coat}}\end{aligned}

光电探测器取理想情况：效率为一，服从 Poisson 统计；谱都用单边振幅谱密度（ASD）。残余运动和镀膜形状的差模位移 ASD 是明确的教学假设：10 赫兹处为每根号赫兹 3e-20 米，随频率平方的倒数下降；100 赫兹处为每根号赫兹 4e-20 米，随频率平方根的倒数下降。两者都除以臂长；独立噪声按功率谱相加，不按振幅谱相加。本实验不给出随机噪声曲线、实测 LIGO 谱、辐射压反作用、压缩光、探测阈值或事件信噪比。

常见难点

暗端口不等于线性探测

容易误解把输出调成全黑，任何微小应变都能直接看见。

正确理解偏置正好为零时，强度没有一阶响应。有了本振，功率就随应变线性变化，正负也分得清；但真实的应变测量还需要标定过的传感、执行和反馈。2016 年的标定论文包含这些环节和信号回收，本实验都没有。输入透射率为百分之一点四时，只看单臂腔，半功率极点约 42 赫兹，完整线宽约 84 赫兹。这不是完整 Advanced LIGO 的传感极点。

动手实验

01
场景 1：偏置 Michelson 读出
在裸 Michelson 中比较差模运动和共模运动。再把偏置调到零，线性信号随之消失。
你会看到： 部分透射的输入镜让光束进入，不透光的端镜把它反射回去。放大的诊断曲线不画在光路里。
02
场景 2：臂腔储光与带宽
加入臂腔。扫频并降低输入透射率，比较增益和延迟。再让两臂失配，看共模运动漏进信号。
你会看到： 载波功率和臂腔响应是两个不同的量。光在腔里存得越久，低频增益越高，但高频灵敏度并不会无限提高。
03
场景 3：功率回收与假设噪声
打开功率回收。比较百分之三和百分之百透射，提高激光功率，再改变假设扰动倍数。
你会看到： 噪声谱是单边 ASD，干净波形是不含噪声的模拟单频信号。两者都不是观测到的或重建出的引力波事件。

LIGO 干涉仪

检验LIGO 干涉仪的物理过程

核心数学模型

注入的差模与共模臂长运动

臂腔储光是延迟光场的相干叠加

两臂失配时共模会泄漏

功率回收提高载波功率，不是相位增益

假设的噪声，不是实测频谱

常见难点

暗端口不等于线性探测

动手实验

场景 1：偏置 Michelson 读出

场景 2：臂腔储光与带宽

场景 3：功率回收与假设噪声

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