光学 046 · 干涉、相干、光腔与精密测量

LIGO 干涉仪

光学核心剖面把悬挂测试质量、半透臂腔镜与载波功率回收，同复数储光响应、模拟光电单频信号和明确假设的差模应变噪声预算相连。

注入差模位移／相位振幅

A_{x-y},A_\phi

$0.50$

光电载波功率／一阶信号

P_{\mathrm{DC}},A_{\mathrm{AC}}

$50\%$

单臂载波功率／假设差模灵敏度

P_x,\sqrt{S_h}(f)

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

LIGO 干涉仪

参考注入幅度指数（共模不是引力应变）

e_h

-21

信号频率

\nu

120\,\mathrm{Hz}

共模混合（零为纯差模，一为纯共模）

q

0

臂腔输入镜功率透射率

T_{\mathrm{ITM}}

1.40\%

双臂透射率相对失配

\epsilon_T

0\%

功率回收镜透射率（百分之百为移除）

T_{\mathrm{PRM}}

3\%

标定等效暗端相位偏置

\beta_0

30\,\mathrm{mrad}

输入激光功率

P_{\mathrm{in}}

25\,\mathrm W

假设位移噪声谱幅度倍数

a_n

1

从裸 Michelson 开始，调成共模：两臂同向等量变化抵消。加入 Fabry–Pérot 臂腔再扫频：储光增益伴随延迟与高频衰减。功率回收预设提高载波功率；噪声曲线是假设，不是 LIGO 数据。读出偏置归零，一阶 DC 探测失效。拖动旋转；3D 位移归一化并减慢，不是光子的真实动画。

理想无损、共振单模臂腔和等效相位偏置线性读出。不含信号回收、反馈标定、chirp、真实探测器谱、辐射压量子关联或天体参数反演。臂长压缩，镜面大小与运动示意。不是完整 Advanced LIGO 模拟器。

继续探索

先理解，再测量

微小的臂长变化怎样变成输出信号？

物理教程

审查LIGO 干涉仪的物理过程

背景对沿上方入射、方向最佳匹配的加偏振引力波，在长波极限下，差模臂长变化为 $\Delta L=Lh$ 。每条臂反向改变其一半。这里的共模混合是注入扰动，不是另一种引力波偏振。3994.5 米臂长和 1064 纳米真空波长取自 2015 年 Advanced LIGO 仪器论文；此简化光学核心不是完整仪器。

为什么值得理解带功率回收的千米级干涉仪怎样把应变变成暗端口信号？

先抓重点

核心问题: 带功率回收的千米级干涉仪怎样把应变变成暗端口信号？
一句话直觉: 完全暗的强度端口对小相位变化是二阶响应。加入标定载波偏置后，一阶信号成为 $P_{\mathrm{AC}}\simeq\frac{P_{\mathrm{BS}}\sin\beta_0}{2}\,\delta\phi$ 。零偏置使线性 DC 读出失效，此时不报告灵敏度。真实 LIGO 通过臂腔小失谐产生本振，并使用输出模式清洁器。本实验把本振作为等效相位偏置，不求解失谐臂腔或输出模式清洁器。

核心数学模型

定义差模与共模注入

\begin{aligned}\delta L_x(t)&=\tfrac12 Lh_0\sin(2\pi ft)\\\delta L_y(t)&=(2q-1)\delta L_x(t)\\\Delta L(t)&=(1-q)Lh_0\sin(2\pi ft)\end{aligned}

混合量 q 从纯差模运动变为匹配共模运动。输入振幅是已知模拟单频信号，不是从噪声数据重建的量；共模振幅不称为引力应变。物理曲线保留米与瓦单位；3D 几何用固定归一化位移和四秒显示周期。

储光是相干延迟叠加

\begin{aligned}r&=\sqrt{1-T},\quad\tau=2L/c\\H(f)&=\frac{(1+r)e^{-i\pi f\tau}}{1-re^{-i2\pi f\tau}}\\H(0)&=\frac{1+r}{1-r}\end{aligned}

理想全反射端镜与无损输入镜形成共振单端臂腔。每增加一次往返，就叠加一个权重为 r 的延迟场。采用正频率、复响应乘以输入单频的约定。较低透射率带来更大零频相位增益，但更窄带宽。裸 Michelson 只保留传播延迟。不求解光学损耗、横模或锁定过程。

失配让共模泄漏

\begin{aligned}T_x&=T(1+\epsilon_T),\ T_y=T(1-\epsilon_T)\\H_D&=\tfrac12[H_x-(2q-1)H_y]\\\delta\phi(f)&=\frac{4\pi L}{\lambda_0}H_D(f)h(f)\end{aligned}

匹配双臂在此理想标量模型中精确抵消共模运动。不同输入透射率产生不同增益和延迟，即使几何差模位移为零也留下残余。响应曲线与噪声参考始终使用纯差模标定注入，而光电曲线使用所选混合。10–1000 赫兹范围采用引力波波长远大于臂长的近似；省略完整方向性引力波传递函数。

载波功率回收不是相位增益

\begin{aligned}B_P&=\frac{T_P}{[1-\sqrt{1-T_P}\cos(\beta_0/2)]^2}\\P_{\mathrm{BS}}&=B_PP_{\mathrm{in}}\\P_{\mathrm{DC}}&=P_{\mathrm{BS}}\sin^2(\beta_0/2)\end{aligned}

共振、无损回收腔重复利用亮端载波；静态反射与暗端输出功率满足能量闭合。臂内功率采用同一分束器功率与共振积累。小信号计算将载波功率冻结在此 DC 平衡点，省略回收镜动态耦合与偏置相关振幅反馈，包括一阶项。这是分块近似，不是精确耦合光学传递。百分之百透射表示移除镜面。理想增益可能超过论文中的实际值。没有信号回收，不能把它与功率回收混为一谈。

假设噪声预算，不是观测频谱

\begin{aligned}\sqrt{S_{P,\mathrm{shot}}}&=\sqrt{2(h_Pc/\lambda_0)P_{\mathrm{DC}}}\\\sqrt{S_{h,\mathrm{shot}}}&=\frac{\sqrt{S_{P,\mathrm{shot}}}}{|\partial P_{\mathrm{AC}}/\partial h|}\\S_{h,\mathrm{total}}&=S_{h,\mathrm{shot}}+S_{h,\mathrm{res}}+S_{h,\mathrm{coat}}\end{aligned}

采用理想单位效率 Poisson 光电探测器与单边振幅谱密度。残余运动和镀膜形状的差模位移 ASD 是明确教学假设：10 赫兹处为每根号赫兹 3e-20 米，按频率平方倒数下降；100 赫兹处为每根号赫兹 4e-20 米，按频率平方根倒数下降。除以臂长后相加独立功率谱，而不是振幅谱。不声称随机噪声曲线、实测 LIGO 谱、辐射压反作用、压缩光、检测阈值或事件信噪比。

常见难点

暗不等于线性灵敏

容易误解把输出调成全黑，任何微小应变都能直接看见。

正确理解在精确零偏置下，一阶强度调制消失。本振允许带符号的线性功率变化，但真实应变测量还需要标定传感、执行和反馈函数。2016 年标定论文明确包含这些函数与信号回收，本实验省略它们。输入透射率为百分之一点四时，单臂腔半功率极点约 42 赫兹、完整线宽约 84 赫兹，不能当作完整 Advanced LIGO 传感极点。

动手实验

01
场景 1：偏置 Michelson 读出
在裸 Michelson 中对比差模与共模；偏置归零，观察线性探测失效。
应该观察到： 半透输入镜允许光进入；不透光端镜反射光束。装置不把放大的诊断曲线放进光路。
02
场景 2：臂腔储光与带宽
加入臂腔。扫频、降低输入透射率，对比增益与延迟；再让双臂失配，使共模泄漏。
应该观察到： 载波功率与臂腔响应是不同量。储光增加低频增益，不代表无限高频灵敏度。
03
场景 3：功率回收与假设噪声
启用功率回收。对比百分之三与百分之百透射，提高激光功率，改变假设扰动倍数。
应该观察到： 噪声谱是单边 ASD；干净波形是无噪声模拟单频信号。两者都不是观测或重建的引力波事件。