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Sandbox Physics

从星光与质量，到圆周运动

星系旋转曲线与盘—晕退化

一条平坦的旋转曲线，能唯一确定星系的暗晕吗？ 圆周运动约束径向引力。恒星盘越重，留给暗晕的引力份额就越少；距离与倾角也会一起改变推算的质量分配。单凭一条平坦曲线，还不能唯一确定暗晕，更不能认出暗物质粒子。

改变恒星盘的质量光度比与球晕参数，用同一份保存曲线，比较各分量的引力、总圆轨速度和残差。

交互模型星系旋转曲线与盘—晕退化
探针处圆轨速度115 km s−1115\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}
探针以内的球晕质量7.5×109 M⊙7.5\times10^{9}\,\mathrm{M}_\odot
恒星引力占总内向力之比0.3420.342
每样点工作残差分数0.9560.956

同一份保存曲线、引力分解与残差

自有合成观测。这里显示条件质量模型，不是实测星系图像。

保存样点总模型恒星盘气体球晕
圆轨速度(km s−1)(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})

横向距离R/kpcR/\mathrm{kpc}。分量曲线显示有符号等效速度，先加引力项，再对总量开平方。

固定观测坐标中的残差

(μj−yj)/σy,j(\mu_j-y_j)/\sigma_{y,j}；距离或倾角变化会一起影响所有半径。

探针选中第30个保存样点，共48点。 3.93 kpc3.93\,\mathrm{kpc}

物理前提、似然与数据导出

盘面显示条件质量样点与圆轨测试粒子。同一份记录的速度箭头共用画面标出的尺度，改变质量模型时，这个尺度也可能改变。晕密度来自模型选择；着色作示意，不表示光度。默认合成盘采用解析薄盘；导入的SPARC引力则保留原生有限厚度盘输入。

探针吸附到保存半径。图线连接样点，保存半径窗外不推算引力。距离采用固定形状的同尺度变换，倾角只作全局修正。

完整工作高斯对数似然，在固定参考投影坐标里保留归一化。原误差没有给出完整协方差或校准过的高斯噪声规律。本Lab不优化参数，也不选择粒子或理论。

log⁡L=\log L= −105-105

自有预设、复合角点与留出样本做过独立Python比较，但没有认证每个连续请求。参数或本地文件不受支持时，会保留上一份完整记录。

物理教程

旋转曲线背后的径向引力

背景测试粒子要沿圆轨运动，就需要向内的加速度。几种质量成分可以共同提供它。

为什么值得理解保持保存的观测不变，改变恒星盘与暗晕的质量分配。

先抓重点

核心问题
一条平坦的旋转曲线，能唯一确定星系的暗晕吗？
一句话直觉
能相加的是引力项，不是几条速度曲线的高度。

核心数学模型

先加径向引力项

vc2=Vg∣Vg∣+ΥdVd∣Vd∣+GMh(<R)Rv_c^2=V_g|V_g|+\Upsilon_d V_d|V_d|+\frac{GM_h(<R)}R

原生气体项为负时，表示这部分力向外。先带符号相加，再对总量开平方。

这里只有晕采用球对称

Mh(<R)=4π∫0Rρh(r)r2 drM_h(<R)=4\pi\int_0^R\rho_h(r)r^2\,dr

积分得到球晕内部质量，不包含恒星盘的质量。

距离改变牵动整条曲线

R′=dR,Ab′=dAb,Ab=RgbR^\prime=dR,\qquad A_b^\prime=dA_b,\quad A_b=Rg_b

dd是距离比，gbg_b是带符号的重子内向加速度。在固定形状的同尺度变换中，质量随距离平方变化，半径随距离变化。

在固定误差坐标里比较

yj=V0,jsin⁡i0,μj=vc,jsin⁡i,log⁡L=−12∑j[(yj−μj)2σy,j2+log⁡(2πσy,j2)]y_j=V_{0,j}\sin i_0,\quad \mu_j=v_{c,j}\sin i,\quad \log L=-\frac12\sum_j\left[\frac{(y_j-\mu_j)^2}{\sigma_{y,j}^2}+\log(2\pi\sigma_{y,j}^2)\right]

保存的速度误差也乘以同一个参考倾角的正弦。倾角从盘面法线量到视线。完整工作似然保留归一化；这里没有优化器，也没有校准后的后验结论。

常见难点

恒星盘不等于球体

容易误解把总速度平方乘半径，就能得到任意星系的真实内部质量。

正确理解这种内部质量关系需要球对称。盘在所选半径之外的物质也会贡献引力；这里显示的内部质量只计算球晕。

曲线相近，不等于理论胜出

容易误解残差分数较小，就证明了某种暗物质粒子。

正确理解分数依赖所选质量分布、几何与工作误差模型。原观测的系统误差、相关性，以及简单模型仍有明显偏差，都不能省去。

动手实验

  1. 01

    选中一条圆轨

    拖动金色探针并暂停粒子，对照曲线中标出的同一位置。

    你会看到： 探针使用保存的径向样点，不会要求未经验证的盘插值给出新引力。
  2. 02

    把恒星盘调重

    只提高质量光度比，观察恒星引力项与总速度。

    你会看到： 恒星速度随质量光度比的平方根变化；几条分量速度不能直接相加。
  3. 03

    改变晕的中心形状

    比较延展尖峰与中心平核的预设，再改变晕尺度。

    你会看到： 同一份保存资料可以对照不同的条件质量模型。中心看起来不同，来自模型选择，并不是恢复出了真实星系图。
  4. 04

    让一项不确定性整体移动

    展开距离与倾角，每次只改一项，再查看残差。

    你会看到： 这些变化会一起影响所有半径，不能当成每个点各自独立的噪声。

相关实验与文章

星系旋转曲线与质量分解 · 阅读路径

从圆周运动到条件质量模型

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

  1. 文章平坦的旋转曲线怎样衡量引力
  2. 文章先分清球体与圆盘的引力
  3. 文章把恒星、气体和暗晕的引力加起来
  4. 文章距离与倾角为什么会改变整条曲线
  5. 文章从具名SPARC文件重新算质量模型
  6. 文章怎样读反馈、暗晕与MOND的条件比较
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