把恒星、气体和暗晕的引力加起来

一颗测试粒子同时受到几种拉力

设气体、恒星盘与球晕在半径 $R$ 处的内向加速度分别为 $g_g,g_d,g_h$。牛顿引力满足叠加原理；测试粒子感受到的是它们的和。给每项乘上同一个半径，可把它们写成速度平方量纲的贡献。

资料表常把这些贡献开平方后列成等效速度。它们描述“如果只有这一部分引力，圆轨会需要怎样的速度”，不是三群物质各自正在流动的速度。恒星盘的原生一列先用单位质量光度比计算，再由所选质量光度比缩放。

把恒星盘质量光度比在太阳单位下的数值记作 $\Upsilon_d$，气体等效速度记作 $V_g$，单位质量光度比下的恒星列记作 $V_d$。本课程选取无核球对象，便先不加核球项。SPARC气体列已经乘过含氦修正，读取后不再重复乘 $1.33$。

对应阅读：Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

负的气体项表示一部分力向外

圆环外侧的气体可以把盘内测试点向外拉。原生资料用负的等效速度标记这种情形。读取这些列时，要先保留每项的力方向。

例题取 $V_g=-20\,\mathrm{km\,s^{-1}}$、$V_d=80\,\mathrm{km\,s^{-1}}$、$\Upsilon_d=0.5$ 与 $v_h=100\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。先算各项：气体 $-400$，恒星 $3200$，球晕 $10000$，单位都是 $(\mathrm{km\,s^{-1}})^2$。总和为 $12800$，开平方得到 $v_c=113.137\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。

若把负气体项也平方成正数，就会得到 $116.619\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。如果有符号总和不大于零，则所指定的场在该半径不支持这类圆轨；不能把负数取绝对值后继续画轨道。

再单看恒星盘：把 $\Upsilon_d$ 从 $0.25$ 增至 $1$，恒星引力增至四倍，恒星等效速度增至两倍。总速度的倍数还要把原来的气体与晕项一起重新计算。

对应阅读：Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

NFW尖峰的速度为何仍趋向零

NFW模型用尺度密度 $\rho_s$ 和尺度半径 $r_s$ 描述球晕，令 $x=R/r_s$。它的密度在小半径处大致与半径成反比；尺度密度并不是有限的中心密度。这个中心上升的形状称为尖峰。

在球壳质量积分里换用无量纲半径，积分变为 $\int_0^x t/(1+t)^2\,dt$。把分子拆成 $t=(1+t)-1$，就能分别积分成对数与倒数，再代入上下限。

对应阅读：Navarro, Frenk & White (1997), fixed astro-ph/9611107v1 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

平核晕与尖峰晕在小半径处怎样分开

先从密度看：中心附近 $\rho(R)\simeq\rho_s r_s/R$，一个薄球壳的质量是 $4\pi R^2\rho(R)\,dR\propto R\,dR$，累加后便随 $R^2$ 增长。精确质量式中的NFW括号在小 $x$ 时也相应趋近 $x^2/2$。再除以 $R$ 求速度平方，可知 $v_h\propto R^{1/2}$。密度有尖峰，并不表示中心圆轨速度发散；越小的球内仍包含越少质量。

另一种演示模型采用有限中心密度 $\rho_0$，令 $x=R/r_c$。它的质量积分含 $\int_0^x t^2/(1+t^2)\,dt$。写成 $1-1/(1+t^2)$ 后，结果是 $x-\arctan x$。这里 $\arctan x$ 指正切等于 $x$ 的角度，以弧度计；它的导数为 $1/(1+x^2)$。

小半径时，这个括号约为 $x^3/3$，质量随 $R^3$ 增长，速度随 $R$ 一次增长。尖峰与平核的局部斜率由此不同。观察能否分清它们，还取决于角分辨率、恒星盘贡献与非圆运动。

对应阅读：Navarro, Frenk & White (1997), fixed astro-ph/9611107v1 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

指数盘的计算保留盘几何

理想薄指数盘有 $\Sigma(R)=M_d e^{-R/R_d}/(2\pi R_d^2)$。将环的牛顿势积分写成轴对称形式，可以得到便于数值求值的表达式。$I_n$ 和 $K_n$ 是修正贝塞尔函数；它们是在圆柱几何问题中出现的标准函数，复算程序用科学计算库求值。

独立检查另走一条路：直接积分真实圆环的牛顿势，再用两个径向步长求导。两种计算在注册的有限半径内作比较，不会用同一个贝塞尔表达式充当自己的参照。

真实SPARC恒星分量保留原资料的有限厚度与非指数细节。读取这列，再按质量光度比缩放，是采用原生质量模型；它与用薄指数盘解释数学关系是两种用途。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation · Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157

计算机里的两个很接近的数

当 $x$ 很小时，直接算 $x-\arctan x$ 会把两个极近的浮点数相减，有效数字可能丢光。程序改算相同函数的收敛级数 $x^3/3-x^5/5+x^7/7-\cdots$，并用正密度积分独立检查。

这是数值精度问题，不是另一种核心物理。失败的直接相减例子保存在复算输出中；平核密度律与原来的误差门槛都保持原样。算得稳定之后，才能继续讨论观测是否支持某一质量分布。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation