先分清球体与圆盘的引力

先规定哪边的力算正

在盘面取圆柱半径 $R$ ，向外为坐标正方向。引力势记为 $\Phi$ ，则向外加速度是 $-\partial\Phi/\partial R$ 。为讨论圆轨，另把内向加速度记作 $g_{\rm in}=\partial\Phi/\partial R$ ；它为正时，力指向中心。

圆轨的速度大小固定，速度方向不断转弯。牛顿第二定律给出内向力等于质量乘圆周加速度。测试粒子的质量出现在等式两侧，可以消去。留下的关系适用于盘、球或它们的叠加，前提是轨道可以近似当成轴对称场中的圆轨。

m\frac{v_c^2}{R}=m g_{\rm in},\qquad v_c^2=R g_{\rm in}

m

是测试粒子的质量。下文所有势和加速度都按单位测试质量讨论；速度平方的单位是

\mathrm{km^2\,s^{-2}}

。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation

球壳定理怎样把几何变成内部质量

把球对称物体分成许多同心薄球壳。位于测试点之外的完整球壳，对这个点的净引力为零；内部每层球壳的外部引力，都相当于把该层质量放在中心。把内部各层相加，就得到只含内部质量的结果。

若体密度是 $\rho(r)$ ，半径 $r$ 、厚度 $dr$ 的薄壳体积约为 $4\pi r^2dr$ 。把密度乘这个体积，得到这一层的质量；从中心加到 $R$ ，就是积分。

M(<R)=4\pi\int_0^R\rho(r)r^2\,dr,\qquad g_{\rm in}(R)=\frac{G M(<R)}{R^2},\qquad M(<R)=\frac{R v_c^2}{G}

G

是引力常数。最后一个质量反推式，继承了前面的球对称假设。

\rho(r)=\rho_0 \Longrightarrow M(<R)=\frac{4\pi}{3}\rho_0R^3,\qquad v_c=R\sqrt{\frac{4\pi G\rho_0}{3}}

均匀球心附近，速度随半径一次增长。往外走，参与提供引力的内部质量越来越多。

对应阅读：Spherical shell theorem foundation Lab · Independent saved-observation rotation-curve calculation

例题：一段平坦曲线对应多少球对称质量

假设从 $10\,\mathrm{kpc}$ 到 $20\,\mathrm{kpc}$ 的圆周速度都为 $200\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ，并明确把引力源当成球对称。采用 $G=4.3009173\times10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2\,\mathrm{M}_\odot^{-1}$ 。

先平方速度，得到 $4.00\times10^4\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2$ 。在内半径处， $Rv_c^2=4.00\times10^5\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2$ ；除以 $G$ ，得到约 $9.30\times10^{10}\,\mathrm{M}_\odot$ 。外半径加倍而速度不变，内部质量也加倍，为 $1.86\times10^{11}\,\mathrm{M}_\odot$ 。

这不是说星系总质量无限大。我们只对给定的有限半径区间作了推算。离开已观测的范围，需要新的观测或新的延伸假设。

若把完全平坦的球对称曲线当作连续理想模型，先由 $M(<R)=Rv_c^2/G$ 求导，再除以薄壳体积因子，可得 $\rho(R)=v_c^2/(4\pi G R^2)$ 。密度随半径平方下降，恰好让每一段相同宽度的球壳增加同样的质量。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation

盘外的物质也能拉动盘内的测试点

现在把质量压成圆盘。测试点外的一圈物质，离测试点较近的一侧拉得更强，可以提供朝外的径向分量。完整球壳原有的抵消方式已经消失。盘的总引力要把内外各圈一起加起来。

用面密度 $\Sigma(R)$ 描述单位盘面积的质量，它与体密度不同，单位可以是 $\mathrm{M}_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}$ 。指数盘的面密度随半径衰减， $\Sigma(R)=\Sigma_0e^{-R/R_d}$ ； $R_d$ 是下降一个自然指数因子所需的尺度。