距离与倾角为什么会改变整条曲线

同一段天空角度可以对应更长的半径

把资料采用的距离写作 $D_0$ ，候选距离写作 $D$ ，比值为 $d=D/D_0$ 。天空角位置不变，物理半径就随距离一次变化。光度由收到的通量乘距离平方得到，在固定质量光度比下，推算的重子质量也随距离平方变化。

沿用同一个角形状，长度随 $d$ 、质量随 $d^2$ ，重子引力加速度不变；乘上半径后，速度平方贡献随 $d$ ，等效速度随 $\sqrt d$ 。这是固定形状的同尺度变换，不是重新求一遍翘曲或光度去投影。

R=dR_0,\qquad M_b=d^2M_{b,0},\qquad (v_b^2)_{\rm signed}=d(v_{b,0}^2)_{\rm signed}

最后一式保留原生径向力的正负。恒星质量光度比的另一次缩放，只作用于恒星项。

对应阅读：Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

更正面地看，会压低视线速度

倾角 $i$ 从盘面法线量到视线。正面盘的倾角为零，边缘朝向的盘接近直角。对于这里采用的全局圆周运动映射，去掉天空位置几何后，视线速度含有因子 $\sin i$ 。同一视线速度，较小倾角对应较大的圆周速度。

令资料的参考倾角为 $i_0$ ，其去投影速度和误差为 $V_{0,j},\epsilon_{0,j}$ 。候选倾角改变时，两者同乘 $k=\sin i_0/\sin i$ 。所有半径共享同一个 $k$ ，不是各点单独抽到的随机误差。

例如从 $63^{\circ}$ 改成 $60^{\circ}$ ，圆周速度与误差都乘 $1.02885$ ，约增大百分之二点九。把距离从 $3.16$ 改成 $3.32\,\mathrm{Mpc}$ ，半径与重子速度平方乘 $1.05063$ ，重子等效速度只乘其平方根。

对应阅读：Lelli, McGaugh & Schombert (2016), SPARC, AJ152,157 · Independent saved-observation rotation-curve calculation

先固定数据坐标，再比较模型

似然回答一个具体问题：如果某组模型参数为真，当前数据在所假定误差规律下有多常见？它是数据的概率密度随模型参数变化的函数，不是参数本身的概率。

为了让不同倾角的比较使用同一把尺，固定 $y_j=V_{0,j}\sin i_0$ 和 $\sigma_{y,j}=\epsilon_{0,j}\sin i_0$ 。模型在候选倾角下预测 $\mu_j=v_{c,j}\sin i$ 。这里的 $\sigma_{y,j}$ 是声明的工作高斯误差，不会随候选倾角再缩放。

先以每点误差互相独立的高斯分布作为练习模型。把各点概率密度相乘，再取自然对数，得到残差项与归一化项。原SPARC误差并没有同时给出一张完整的跨半径协方差表；使用这个工作模型，仍要检查系统偏差。

把以误差为单位的残差平方相加，记为 $\chi^2=\sum_j[(y_j-\mu_j)/\sigma_{y,j}]^2$ ，称为卡方。再除以数据点数减去所拟参数数目，就是约化卡方。后面例子有 $73$ 点、 $3$ 个拟合参数，分母为 $70$ 。这些数概括的是所选误差规律下的残差，不能单凭它们证明误差规律正确。

\log L=-\frac12\sum_j\left[\frac{(y_j-\mu_j)^2}{\sigma_{y,j}^2}+\log(2\pi\sigma_{y,j}^2)\right]

本章log均为自然对数。第一项比较误差单位中的偏离，第二项给出所选数据坐标里的概率密度归一化。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation · Li et al., Fitting the radial acceleration relation, arXiv:1803.00022v1

换坐标时，概率密度也会跟着变

若在每个候选倾角下，改用放大后的圆周速度 $kV_0$ 和误差 $k\epsilon_0$ ，残差除以误差后的比值仍可相同，概率密度的高度却不同。对 $N$ 个点，坐标放大 $k$ 倍后，密度多出 $k^{-N}$ 因子；这就是需要补回的Jacobian。

记新坐标中算出的似然为 $L_{\rm scaled}$ ，原参考圆周速度坐标的似然为 $L_{V_0}$ ，固定投影坐标的似然为 $L_y$ 。先恢复倾角相关因子，再处理参考正弦这一次固定换尺，就得到下式。

一个反例是：让模型在每个倾角都精确贴合数据。固定误差坐标中的似然应相同。若漏掉换尺因子，对 $48$ 个点， $72^{\circ}$ 相对 $54^{\circ}$ 会凭空获得约 $7.764$ 的对数似然优势，完全来自误差坐标缩小。

\log L_{V_0}=\log L_{\rm scaled}+N\log k,\qquad \log L_y=\log L_{V_0}-N\log\sin i_0

改变的是概率密度的坐标，不是观测突然更精确。直接在固定投影坐标计算，可以避免遗漏这两个因子。

对应阅读：Independent saved-observation rotation-curve calculation

增加样点消不掉共同偏移

协方差描述两处误差怎样一起变化。九个速度点若各有独立随机误差，还共同受到一次标定偏移，那么多测几点能压低独立误差对均值的影响，却不能把同一个偏移平均掉。

设每点独立标准差为 $2.5\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ，共同偏移标准差为 $3\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 。均值方差为 $2.5^2/9+3^2=9.6944\,(\mathrm{km\,s^{-1}})^2$ 。若误把共同项也当独立项，会得到 $(2.5^2+3^2)/9=1.6944$ ，把不确定性压得过小。