暗物质晕的核心与尖峰

矮星系中心的暗物质，为什么可能是平的核心，而不是尖峰？ 冷暗物质越往晕中心越密，形成尖峰。暗物质粒子彼此碰撞、极轻粒子的波动性，或者超新星一次次把气体吹出去，都能把中心摊成较平的核心。温暗物质主要是让最小的晕变少。

在冷、温、模糊和自相互作用暗物质之间切换，看矮星系暗物质晕的中心是变平还是保持尖峰；再比较各个模型在早期密度场里留下多少小尺度起伏。

150秒差距处的暗物质密度 $0.0398\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$

300秒差距处的密度斜率 $-0.123$

金星标处的圆周速度 $22.6\,\mathrm{km\,s^{-1}}$

这一质量的晕数，与冷暗物质之比 $1.00$

选择暗物质

晕质量

M_{\rm vir}

10^{10}\,\mathrm{M_\odot}

单位质量散射截面

\sigma/m

2.00\,\mathrm{cm^2\,g^{-1}}

拖动金色星标，读出任一半径上的圆周速度。

晕的细节、探测半径与随机相位

斜率达到负二分之一的半径 $r_{-1/2}$: $0.644\,\mathrm{kpc}$
外侧晕的聚集度 $c_{\rm vir}$: $17.2$
特征半径 $r_s$: $3.30\,\mathrm{kpc}$
位力半径 $r_{\rm vir}$: $56.8\,\mathrm{kpc}$
半模波数 $k_{\rm hm}$
功率减半的波数 $k_{1/2}$
半模质量 $M_{\rm hm}$
孤子核心半径 $r_c$
每个粒子散射一次的半径 $r_1$: $2.57\,\mathrm{kpc}$
核心速度弥散 $\sigma_0$: $22.7\,\mathrm{km\,s^{-1}}$
恒星形成给出的核心强度 $n$

探测半径

1.00\,\mathrm{kpc}

两张密度切片用同一组随机相位。换一组相位会重画密度场，晕不变。

模型假设

每个晕都是今天的一个孤立球体。除反馈模型外，不考虑普通物质。冷暗物质晕采用Navarro–Frenk–White密度分布，聚集度取Dutton与Macciò的关系；约一百五十亿倍太阳质量以下是外推。温暗物质的线性截断用Viel拟合函数，晕的数量和聚集度用Schneider的拟合；热运动可能形成的核心没有放进来，模拟也没有发现大的等密度核心。模糊暗物质把Schive孤子放进冷暗物质晕里，一直延伸到两者密度相交的半径。孤子在所有半径上都比尖峰稀时，页面会提示，并在两者最接近的地方拼接。模糊暗物质的晕数量拟合是在红移四以上标定的。自相互作用暗物质按Kaplinghat、Tulin与Yu的做法，在每个粒子大约在一百亿年里散射一次的半径处，把等温核心接到冷暗物质晕上；散射截面与速度无关，也不模拟核心坍缩。反馈模型是Read等人的coreNFW拟合，恒星形成持续一百亿年。两张密度切片是从冻结的CLASS功率谱滤出的线性高斯场，既不是模拟结果，也不是观测。点的疏密表示包含的质量，圆形轨道只是画法。

冷温模糊自相互作用冷 + 气体反馈CLASS计算金色星标

线性小尺度功率

T^2(k)=P_X/P_{\rm CDM}

线：已发表的拟合。圆圈：2、3或6.5 keV的CLASS计算。

密度分布

\rho(r)

旋转曲线

V_c=\sqrt{GM(<r)/r}

晕的数目

n_X/n_{\rm CDM}

核心问题: 如果两个模型给出同样平的核心，还有什么能把它们分开？
一句话直觉: 核心可以来自碰撞、波动或气体反馈；只有温暗物质和模糊暗物质，还会从一开始就抹掉小尺度结构。

核心数学模型

冷暗物质晕与它的聚集度

\rho_{\rm NFW}(r)=\frac{\rho_s}{(r/r_s)(1+r/r_s)^2},\qquad \log_{10}c_{\rm vir}=1.025-0.097\log_{10}\frac{M_{\rm vir}}{10^{12}\,h^{-1}\,\mathrm{M_\odot}}

靠近中心，密度按半径的倒数上升。聚集度是位力半径与特征半径之比，这里取Dutton和Macciò对冷暗物质模拟的拟合。

温暗物质在哪里截掉功率

T(k)=\left[1+(\alpha k)^{2\nu}\right]^{-5/\nu},\quad \nu=1.12,\qquad \frac{n_{\rm WDM}}{n_{\rm CDM}}=\left(1+\frac{M_{\rm hm}}{M}\right)^{-1.16}

跑得快的温暗物质粒子会把最小的起伏抹平。振幅降到一半处对应一个波长，以半个波长为半径的球里装的质量，就是半模质量；接近和低于它的晕会变少。

模糊暗物质晕中心的孤子

\rho_{\rm sol}(r)=\frac{1.9\,(m/10^{-23}\,\mathrm{eV})^{-2}\,(r_c/\mathrm{kpc})^{-4}}{\left[1+0.091\,(r/r_c)^2\right]^{8}}\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}},\qquad r_c=1.6\,\frac{10^{-22}\,\mathrm{eV}}{m}\left(\frac{M_{\rm vir}}{10^{9}\,\mathrm{M_\odot}}\right)^{-1/3}\mathrm{kpc}

Schive等人用波动模拟拟合出这两个关系，这里取今天的值。粒子越轻，de Broglie波长越长，核心越大、越稀。

自相互作用来得及起作用的地方

\frac{\sigma}{m}\,\langle v\rangle\,\rho(r_1)\,t_{\rm age}=1,\qquad \sigma_0^2\,\nabla^2\ln\rho=-4\pi G\rho

在每个粒子大约散射过一次的半径以内，热量向外流，暗物质变成等温的核心。在这个半径上，密度和包含的质量都与冷暗物质晕接上。

气体外流造出的核心

M(<r)=M_{\rm NFW}(<r)\,\tanh^{n}\!\left(\frac{r}{r_c}\right),\qquad n=\tanh\!\left(\kappa\,\frac{t_{\rm SF}}{t_{\rm dyn}}\right),\quad r_c=\eta R_{1/2}

Read等人用超新星反复外流的矮星系模拟拟合出这个形式。恒星形成持续越久，指数越大，中心越平。

常见难点

核心与暗物质的本性

容易误解中心是平的，就证明暗物质不是冷的。

正确理解超新星吹出气体，也能让冷暗物质晕的中心变稀。只有排除了这个星系里的反馈作用，核心才指向新的物理。

温暗物质改变了什么

容易误解温暗物质主要是用来造核心的。

正确理解它主要作用在更早的时候：先抹掉小尺度功率，小晕变少，形成的晕也不那么集中。模拟没有发现它造成大的等密度核心。

更密的模糊暗物质核心

容易误解模糊暗物质的核心总比冷暗物质的尖峰更稀。

正确理解在这个Lab里，粒子较重、晕较大时，按已发表的核心—晕关系算出的孤子，在150秒差距处反而比冷暗物质尖峰更密。

动手实验

01
比较核心和尖峰
从“碰撞把中心摊平”开始，再选“冷暗物质的尖峰”。
你会看到： 点在中心挤成一个亮斑，150秒差距处的密度升到约六倍；300秒差距处的斜率从接近零变得比负一还陡。
02
加大碰撞
选“自相互作用”，把散射截面滑块从最小拖到最大。
你会看到： 虚线核心圈从不到0.1千秒差距长到约1千秒差距。在核心与冷暗物质晕接上的半径以外，旋转曲线又回到冷暗物质那条。
03
看小结构消失
选“温暗物质：小晕变少”，再把温暗物质粒子质量调低。
你会看到： 上方密度切片里的细小颗粒消失，晕数图里的温暗物质曲线在更大质量处就开始下降，晕数读数也跟着变小。
04
找出相像的两个
选“气体反馈也能造出核心”，把它的旋转曲线和自相互作用预设比一比。
你会看到： 两者都让内侧的圆周速度低于冷暗物质曲线；密度切片里两者都保留了全部冷暗物质结构，单看核心分不出是哪种物理。

来源与核对

线性功率谱用CLASS 3.4.2和Planck 2018参数算出。另写的Python脚本把温暗物质截断与CLASS对照，把模糊暗物质截断与含波压的增长方程对照，把孤子与Schrödinger–Poisson基态对照。

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