温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏

先读尖峰和核心怎样改变转动曲线。需要的背景是波和波长、幂与对数，以及“平方的平均”这个概念。学完以后，你应该能读懂转移函数，把截断尺度换成晕质量，并算出温暗物质或模糊暗物质在某个质量上让晕少了多少。

用波数描述起伏

用密度反差 $\delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho$ 描述物质分布，它是相对宇宙平均密度 $\bar\rho$ 多出来的比例。任何 $\delta$ 的图样都能写成许多波的叠加。波长为 $\lambda$ 的波，波数是 $k=2\pi/\lambda$，$k$ 越大，起伏越小。宇宙学里的 $k$ 用共动单位，也就是把整体膨胀除掉之后的长度，常写成 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。这里 $h=0.6766$ 是以 $100\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ 为单位的哈勃常数，1 Mpc 等于1000 kpc。

功率谱 $P(k)$ 是波数在 $k$ 附近的那些波的振幅平方的平均。起伏还小的时候，每个波各长各的，互不掺和，这叫线性阶段。各种暗物质模型的差别，就是在这个阶段定下来的。

转移函数和半模尺度

把模型 X 和冷暗物质比，用两者线性功率谱的比值：

$T^2=1$ 表示冷暗物质的起伏原样保留，$T^2=0$ 表示全被抹掉。Nadler 等 2021，式1 半模波数 $k_{\mathrm{hm}}$ 是 $T^2=1/4$ 的地方，这时振幅 $T$ 降到一半。以半个波长 $\pi/k_{\mathrm{hm}}$ 为半径、按平均物质密度装满的球，质量叫半模质量：

比它轻的晕，明显比冷暗物质里少。Nadler 等 2021，式2 注意 $k$ 的单位是 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$：半径要先除以 $h$，再配上以太阳质量每立方千秒差距为单位的 $\rho_{\mathrm{crit}}$。

温暗物质从小起伏里溜走

最早的起伏开始增长时，温暗物质粒子的速度仍是光速里不可忽略的一份。粒子要是在引力把起伏加深之前就穿了过去，这个起伏就被抹平了。粒子越轻，跑得越快，抹掉的起伏越大。对热遗留粒子，也就是曾经和周围达到热平衡的粒子，Viel 等人把玻尔兹曼程序的结果拟合成

Viel 等 2005，式6与式7 令 $T=1/2$ 解出半模波数，得到解析式：

例3.1 取3 keV 的粒子，$\Omega_{\mathrm{WDM}}=0.2607$，即参照宇宙学里全部暗物质。这时 $\alpha=0.01395\,h^{-1}\,\mathrm{Mpc}$。括号 $(2^{0.224}-1)^{0.446}$ 等于0.451，于是 $k_{\mathrm{hm}}\simeq32.3\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。半个波长 $\pi/k_{\mathrm{hm}}=0.0972\,h^{-1}\,\mathrm{Mpc}$，也就是 $143.6\,\mathrm{kpc}$。再用 $\Omega_{\mathrm m}\rho_{\mathrm{crit}}=39.3\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$，

拟合终归是拟合。本课程保存了一份玻尔兹曼程序 CLASS 的完整线性计算，同一个半模落在 $34.6\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，拟合偏低约7%。复算方法一章会演示这个比较怎么做。

Schneider 等人数了温暗物质模拟里形成的晕，把它和冷暗物质的比值拟合成

Schneider 等 2012，式28 对3 keV，$10^9\,\mathrm M_\odot$ 处比值是0.63，$10^8\,\mathrm M_\odot$ 处是0.13。即便形成了，晕也没那么紧，聚集度要乘上 $(1+15M_{\mathrm{hm}}/M)^{-0.3}$，在 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 处约为0.53。Schneider 等 2012，式39

模糊暗物质不肯被压小

如果暗物质是一种质量约 $10^{-22}\,\mathrm{eV}$ 的玻色子，它的德布罗意波长 $\lambda_{\mathrm{dB}}=h_{\mathrm P}/(mv)$ 会大到天文尺度，$h_{\mathrm P}$ 是普朗克常量。速度每秒100公里时，波长约 $1.2\,\mathrm{kpc}$。把一个波塞进比它波长还小的地方，动能就会升高。效果像多出一份压力，叫量子压力，它在小尺度上顶住引力。

线性阶段里，模糊暗物质场的每个共动波满足

上面的点表示对时间求导，$H$ 是膨胀率，$a$ 是尺度因子，$\hbar=h_{\mathrm P}/2\pi$。$k$ 小的时候引力占上风，起伏增长；超过金斯波数，括号变号，量子压力占上风，起伏只振荡不增长。Hu、Barkana 与 Gruzinov 给出物质与辐射相等时刻的金斯波数 $k_{\mathrm{J,eq}}=9m_{22}^{1/2}\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，其中 $m_{22}=m/(10^{-22}\,\mathrm{eV})$，并把转移函数拟合成

功率在 $k_{1/2}=4.5\,m_{22}^{4/9}\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处降到一半。Hu、Barkana 与 Gruzinov 2000，式8与式9 超过 $x^3=\pi/2$ 以后余弦变负，拟合式开始来回振荡，那里它只表示“截断了”，所以配套实验在这点以外取 $T=0$。

例3.2 对 $m_{22}=1$，$k_{1/2}=4.5\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，即 $6.65\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。本课程另写了一段程序直接积分上面的增长方程，功率减半的位置落在 $3.80\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，是拟合值的83%。两种计算对辐射和重子的处理不同，复算方法一章记下了这个比较。

模糊暗物质的晕更少。Schive 等人从模糊暗物质的线性起伏出发做模拟，之后把物质当作普通粒子来跟踪，在红移四及以上把晕的数目拟合成

Schive 等 2016，式7 对 $m_{22}=1$，比值在 $10^{10}\,\mathrm M_\odot$ 处为0.11，在 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 处为0.0011。量子压力只通过初始起伏进入他们的模拟，所以拟合里的压低因子不随红移变化；作者也指出，低于约 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 的晕结果不确定。配套实验把这个拟合用到今天，这是一个假设。

两种截断形状为什么不同

温暗物质的转移函数按 $k$ 的幂次往下掉，模糊暗物质的则像跌下悬崖。半模尺度相同时，模糊暗物质把小起伏抹得更干净。Nadler 等人注意到这种更陡的压低，所以给模糊暗物质单独拟合了晕数目的形状，而不是把它折算成某个等效的温暗物质质量。Nadler 等 2021，模糊暗物质分析一段

两种截断都不直接改变已经形成的晕的内部。温暗物质的晕不那么紧，是因为它们形成得晚。模糊暗物质晕中心平坦的核心，来自同一个量子压力在晕内部起作用，这是造出暗物质核心的三种方式要讲的内容。

实验任务

1. 预测。在转移函数面板里，把3 keV 改成6.5 keV，温暗物质曲线会在哪里降到四分之一？先用 $\alpha$ 的标度关系算，再动滑块。
2. 改一个条件。比较1 keV 和10 keV 温暗物质的密度切片。质量变小时，哪些结构最先消失？
3. 比较。调节模糊暗物质，让它的功率减半点大致对上3 keV 温暗物质的曲线。哪条曲线更陡？
4. 解释。所有模型的切片都用同一组随机相位。为什么大结构在每张切片里都待在相同位置？

练习

1. 由 $\alpha\propto m_{\mathrm{WDM}}^{-1.11}$ 和例3.1，求6.5 keV 的 $k_{\mathrm{hm}}$ 和 $M_{\mathrm{hm}}$。
2. 有人提出一个比 $m_{22}=1$ 重三十倍的模糊暗物质粒子。$k_{1/2}$ 变大几倍？$M_0$ 变小几倍？
3. 半模为什么用 $T^2=1/4$ 来定义，而不用 $T^2=1/2$？两者各自描述什么？