造出暗物质核心的三种方式

这一章接着尖峰和核心怎样改变转动曲线和温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏。我们沿用例2.2的冷暗物质晕： $r_{\mathrm s}=3.30\,\mathrm{kpc}$ ， $\rho_{\mathrm s}=1.13\times10^7\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$ 。第二节会出现一个微分方程，到时会讲怎样读它。学完以后，你应该能从给定假设造出每种核心，算出中心密度，并找到一种能把三者分开的测量。

中心的一团驻波

模糊暗物质晕用一个波函数 $\psi$ 描述，它的模方 $\lvert\psi\rvert^2$ 就是质量密度。 $\psi$ 满足薛定谔方程，其中的引力势由密度本身产生，满足泊松方程。两者合起来叫薛定谔–泊松方程。它能量最低、不随时间变化的解是一个光滑的球，叫孤立子。Schive 等人在波动模拟里发现晕的中心都有孤立子，红移为零时密度为

\rho_{\mathrm s\ell}(r)=\frac{1.9\,(m/10^{-23}\,\mathrm{eV})^{-2}\,(r_{\mathrm c}/\mathrm{kpc})^{-4}}{\left[1+0.091\,(r/r_{\mathrm c})^2\right]^8}\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}.

核心半径 $r_{\mathrm c}$ 是密度降到中心值一半的地方。Schive 等 2014，《物理评论快报》，式3

这组方程有一种标度对称：一个解在尺寸上缩小 $\lambda$ 倍、密度放大 $\lambda^4$ 倍，仍然是解。宽度减半的孤立子，中心密度高十六倍，这就是式中出现 $r_{\mathrm c}^{-4}$ 的原因。同一批模拟还把核心和晕的质量联系起来，红移为零时

r_{\mathrm c}=1.6\,m_{22}^{-1}\left(\frac{M_{\mathrm{vir}}}{10^9\,\mathrm M_\odot}\right)^{-1/3}\mathrm{kpc},

其中 $m_{22}=m/(10^{-22}\,\mathrm{eV})$ 。Schive 等 2014，《物理评论快报》，式7 晕越重，孤立子越小，也越密。

例4.1 取 $m_{22}=1.585$ ， $M_{\mathrm{vir}}=10^{10}\,\mathrm M_\odot$ 。于是 $r_{\mathrm c}=1.6/1.585\times10^{-1/3}\simeq0.469\,\mathrm{kpc}$ 。用 $m/10^{-23}\,\mathrm{eV}=15.85$ ，中心密度为 $1.9/(15.85)^2/(0.469)^4\simeq0.157\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ 。在 $150\,\mathrm{pc}$ 处，方括号为 $(1.0093)^8\simeq1.077$ ，密度是 $0.146\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ 。

几个核心半径以外，孤立子让位给一个平均看来像冷暗物质的晕。配套实验在两种密度第一次相等的地方把孤立子接到冷暗物质分布上。如果孤立子太稀，碰不到冷暗物质的尖峰，这在粒子很轻、晕又很小时会发生，实验就直接提示，不去画一条硬接的曲线。

碰撞造出一个等温球

现在让暗物质粒子互相散射，单位质量截面为 $\sigma/m$ ，也就是每克对应的靶面积。每个粒子的散射率是 $(\sigma/m)\langle v\rangle\rho$ ， $\langle v\rangle$ 是平均相对速度。Kaplinghat、Tulin 与 Yu 在半径 $r_1$ 处把晕一分为二：在那里，每个粒子在晕的年龄 $t_{\mathrm{age}}$ 内大约散射过一次，

\frac{\sigma}{m}\langle v\rangle\rho(r_1)\,t_{\mathrm{age}}=1.

$r_1$ 以外很少散射，冷暗物质分布保持原样。 $r_1$ 以内，散射已经让粒子之间分匀了能量，大家有同一个速度弥散 $\sigma_0$ ，就像温度处处相同的气体。Kaplinghat、Tulin 与 Yu 2016，式1

等温气体在自身引力下处于流体静力平衡：压强 $p=\rho\sigma_0^2$ 往外推的力，正好抵住往里拉的引力。把 $\nabla p=-\rho\nabla\Phi$ 和泊松方程 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ 合起来，并且先不考虑恒星和气体，得到

\sigma_0^2\nabla^2\ln\rho=-4\pi G\rho.

记 $\rho=\rho_0e^{-\psi}$ ，半径以 $r_0=\sigma_0/\sqrt{4\pi G\rho_0}$ 为单位， $\xi=r/r_0$ 。对球对称情形，方程变成

\frac{1}{\xi^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi}\!\left(\xi^2\frac{\mathrm d\psi}{\mathrm d\xi}\right)=e^{-\psi},\qquad\psi(0)=0,\quad\psi'(0)=0.

这样的微分方程说的是函数从一点到下一点怎样变化；中心的初始值一旦给定，整条解就定了。中心附近可以用幂级数解， $\psi\simeq\xi^2/6-\xi^4/120$ ，所以密度一开始是平的。再往外，交给计算机一步步往前推。 $\xi$ 以内的质量是 $4\pi\rho_0r_0^3\,\xi^2\psi'(\xi)$ 。

要把等温球接到冷暗物质晕上，要求密度和包含的质量在 $r_1$ 处都连续。两个条件相除， $\rho_0$ 和 $r_0$ 都消掉了：

\frac{M_{\mathrm{NFW}}(<r_1)}{4\pi r_1^3\rho_{\mathrm{NFW}}(r_1)}=\frac{\xi_1^2\psi'(\xi_1)}{\xi_1^3e^{-\psi(\xi_1)}}.

$r_1$ 一旦知道，左边就由冷暗物质晕定下。右边从 $1/3$ 出发，升到约 $1.26$ 的第一个极大，然后来回振荡。目标值在 $1/3$ 到 $1.26$ 之间时，曲线上升段上一定有一个根，也可能还有别的根。我们取最小的 $\xi_1$ ，它给出更大、更稀的核心；Kaplinghat、Tulin 与 Yu 用这个模型拟合星系时，也报告了两重简并。目标值超过 $1.26$ 就无解，实验会提示这一点。麦克斯韦分布下 $\langle v\rangle=(4/\sqrt\pi)\sigma_0$ ，所以 $r_1$ 依赖 $\sigma_0$ ；两者来回迭代，直到一致。

例4.2 取 $\sigma/m=2\,\mathrm{cm^2\,g^{-1}}$ ， $t_{\mathrm{age}}=10\,\mathrm{Gyr}$ 。迭代收敛到 $r_1=2.57\,\mathrm{kpc}$ ， $\xi_1=5.31$ ， $\sigma_0=22.7\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ， $\rho_0=0.0404\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ 。手算检验散射条件： $r_1$ 处冷暗物质密度为 $4.58\times10^6\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$ 。用 $1\,\mathrm{cm^2\,g^{-1}}=2.088\times10^{-10}\,\mathrm{kpc^2\,M_\odot^{-1}}$ 和 $\langle v\rangle=51.2\,\mathrm{km\,s^{-1}}=52.3\,\mathrm{kpc\,Gyr^{-1}}$ ，

(4.18\times10^{-10})(52.3)(4.58\times10^6)\simeq0.100\,\mathrm{Gyr^{-1}},

正好是一百亿年散射一次。 $150\,\mathrm{pc}$ 处的密度是 $0.0398\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ ，约为冷暗物质0.227的六分之一。

气体搅动冷暗物质尖峰

第三种核心不需要新的暗物质物理。矮星系一阵一阵地形成恒星时，超新星把气体推出中心，之后气体又落回来。每一轮，中心引力变化得比暗物质轨道调整得还快，轨道就得到能量，慢慢往外漂。Read、Agertz 与 Collins 把模拟结果概括成 coreNFW 拟合，把冷暗物质的包含质量乘上一个光滑的台阶：

M(<r)=M_{\mathrm{NFW}}(<r)\,f^n,\qquad f=\tanh\!\left(\frac{r}{r_{\mathrm c}}\right),\qquad n=\tanh\!\left(\kappa\frac{t_{\mathrm{SF}}}{t_{\mathrm{dyn}}}\right).

这里 $r_{\mathrm c}=\eta R_{1/2}$ 跟恒星的投影半光半径成正比， $t_{\mathrm{SF}}$ 是恒星形成持续的时间， $t_{\mathrm{dyn}}=2\pi\sqrt{r_{\mathrm s}^3/(GM_{\mathrm{NFW}}(<r_{\mathrm s}))}$ 是标度半径处的轨道周期。他们得到 $\kappa=0.04$ 、 $\eta=1.75$ 。Read、Agertz 与 Collins 2016，式16至式20 对质量求导就得到密度，即他们的式21。随着恒星不断形成，指数 $n$ 从0（没有核心）长向1（完整核心）。

例4.3 对例2.2的晕， $M_{\mathrm{NFW}}(<r_{\mathrm s})=9.87\times10^8\,\mathrm M_\odot$ ，得 $t_{\mathrm{dyn}}=0.566\,\mathrm{Gyr}$ 。取 $t_{\mathrm{SF}}=10\,\mathrm{Gyr}$ ， $n=\tanh(0.707)=0.609$ 。半光半径 $1.5\,\mathrm{kpc}$ 给出 $r_{\mathrm c}=2.63\,\mathrm{kpc}$ ， $150\,\mathrm{pc}$ 处的密度降到 $0.052\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ 。

中心相同，来历不同

**表 4.1** 同一个 $10^{10}\,\mathrm M_\odot$ 晕里的三种核心和冷暗物质尖峰。
模型	150 pc 处密度（每立方秒差距太阳质量）	300 pc 处斜率	1 kpc 处速度（km/s）
冷暗物质尖峰	$0.227$	$-1.17$	$26.6$
孤立子， $m_{22}=1.585$	$0.146$	$-0.58$	$27.3$
碰撞， $\sigma/m=2\,\mathrm{cm^2\,g^{-1}}$	$0.040$	$-0.12$	$22.5$
气体， $R_{1/2}=1.5\,\mathrm{kpc}$	$0.052$	$-0.55$	$19.5$

这里碰撞和气体给出的中心密度几乎一样；换一组参数，孤立子也能靠过来。真正把它们分开的，是核心怎样随晕变化。在配套实验的模型里，碰撞核心的半径从 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 时约 $0.23\,\mathrm{kpc}$ 长到 $10^{11}\,\mathrm M_\odot$ 时 $1.8\,\mathrm{kpc}$ ：晕越大，粒子越快，散射一次的位置就越靠外。孤立子按 $M_{\mathrm{vir}}^{-1/3}$ 缩小。气体核心跟着恒星走，大小随 $R_{1/2}$ 变化，深度要靠长时间的恒星形成。

每个模型都省略了一些物理。这里的等温球没有算恒星的引力，Kaplinghat、Tulin 与 Yu 的原文算了；它也不跟踪散射很多次以后核心可能发生的晚期坍缩。孤立子接冷暗物质晕的图像，忽略了真实波动晕里颗粒状的干涉花纹。coreNFW 拟合是用孤立的模拟矮星系标定的，绕大星系运行的矮星系不在其中。

实验任务

预测。在自相互作用模型里，把 $\sigma/m$ 加倍， $r_1$ 会往里还是往外移？看核心圆圈来检验。
改一个条件。在自相互作用和模糊暗物质两种模型里，分别把晕质量从 $10^9$ 滑到 $10^{11}\,\mathrm M_\odot$ ，看核心标签怎样变。
比较。找一个模糊暗物质粒子质量，让150秒差距处的密度接近气体反馈的值。再比较两者的晕数目读数。
解释。把模糊暗物质设成很轻的粒子、 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 的晕。为什么实验提示孤立子低于冷暗物质尖峰？

练习

在 $r\to r/\lambda$ 、 $\rho\to\lambda^4\rho$ 的标度下， $r_{\mathrm c}$ 以内的孤立子质量怎样变？证明 $M_{\mathrm c}r_{\mathrm c}$ 不变。
晕不变时，为什么 $\sigma/m$ 越大， $r_1$ 越往外？只用散射条件回答。
两个孤立的矮星系，晕质量分别是 $10^9$ 和 $10^{11}\,\mathrm M_\odot$ ，暗物质核心都约1 kpc 大。本章哪种机制最难解释这一对？下一步该测什么？

答案

质量等于密度乘体积，按 $\lambda^4\lambda^{-3}=\lambda$ 变化；半径按 $\lambda^{-1}$ 变化，所以 $M_{\mathrm c}r_{\mathrm c}$ 不变。这正是 Schive 等人列出的核心标度。
散射条件把 $r_1$ 处的密度定为 $1/[(\sigma/m)\langle v\rangle t_{\mathrm{age}}]$ 。截面越大，需要的密度越低，而在往外下降的分布里，更低的密度在更外面。
孤立子关系 $r_{\mathrm c}\propto M^{-1/3}$ 预言小晕的核心大 $100^{1/3}\simeq4.6$ 倍，同一个粒子质量下核心一样大与之矛盾。碰撞预言重晕的核心更大。气体核心跟着恒星走，所以下一步要测每个星系的半光半径和恒星形成史。