怎样读银河系卫星星系给温暗物质和模糊暗物质的限制

先读温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏，转移函数和半模质量都来自那一章。重算温暗物质截断、模糊暗物质截断和孤子核心检验了这篇论文所依赖的温暗物质半模公式。你需要熟悉似然函数和95%上限。子晕是在大晕里绕行的小晕，卫星星系就是一个子晕里装着的那些恒星。

这篇导读读的是哪个版本

论文是 Nadler 等人的 Milky Way Satellite Census III, Constraints on Dark Matter Properties from Observations of Milky Way Satellite Galaxies，这里读的是2021年3月1日发布的 arXiv:2008.00022v2。它的 arXiv 页面链接到正式发表版 Physical Review Letters 126, 091101 (2021)。我们读了 arXiv 全文，包括补充材料，但没有和期刊排版版本逐行对照。论文给出了作者代码和子晕目录的链接，我们没有运行它们。

论文用 $h=0.7$、$\Omega_{\mathrm m}=0.286$、$\sigma_8=0.82$、$n_{\mathrm s}=0.96$，Bryan–Norman 位力过密度取 $\Delta_{\mathrm{vir}}\simeq99.2$。本课程用普朗克2018年的参数，得到 $102.5$。比较质量时要把两套参数分开。

图1就是整条论证

图1有三栏，从左往右读，就是整篇论文的逻辑。

左栏画的是被排除的温暗物质、相互作用暗物质和模糊暗物质模型的 $T^2(k)$：6.5 keV，100 MeV 时 $8.8\times10^{-29}\,\mathrm{cm^2}$ 的暗物质–质子截面，以及 $2.9\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$。这是线性理论，和第3章是同一个量。

中栏把每个截断换成 $f_{\mathrm{DM}}(M)$，也就是质量为 $M$ 的冷暗物质子晕还剩多少比例。一条竖直虚线标出已知承载银河系卫星的最轻晕质量的95%上限，取自作者早先的普查论文。虚线以下的子晕里没有我们看得见的星系，它们少了多少无从检验。

右栏画的是亮于各个光度的卫星数目预测，和 DES、PS1 的数据对比。图注提醒，这一栏只是一维的概括，真正的拟合用到每颗卫星在各自巡天天区里的光度、大小和天球位置。

式1到式7，配上数字

式1定义 $T^2=P_{\mathrm{DM}}/P_{\mathrm{CDM}}$，半模是 $T^2=0.25$ 的位置。式2给出半模质量，和第3章一样。式3说，暗物质模型唯一改变的是子晕质量函数：

对温暗物质，式4和式5是

其中 $\alpha=2.7$、$\beta=1.0$、$\gamma=-0.99$，取自 Lovell 等人对银河系质量宿主晕的模拟。对模糊暗物质，式6形式相同，质量尺度换成 $M_0$，随粒子质量变化的指数列在补充材料里。式7是

Nadler et al. 2021, equations 1 to 7

例6.1 温暗物质的限制对子晕数目意味着什么？把基准限制 $M_{\mathrm{hm}}=3.8\times10^7\,\mathrm M_\odot$ 代入式4。在 $M=10^8\,\mathrm M_\odot$，$f=[1+2.7\times0.38]^{-0.99}=2.026^{-0.99}=0.497$。在 $10^9\,\mathrm M_\odot$，$f=1.103^{-0.99}=0.908$。被排除的模型会让 $10^8\,\mathrm M_\odot$ 的子晕少掉大约一半，重十倍的子晕少掉大约十分之一。数据不允许比这更多的损失。

例6.2 把质量限制换成粒子质量。反解式5，$m_{\mathrm{WDM}}=3\,\mathrm{keV}\,(M_{\mathrm{hm}}/5\times10^8)^{-3/10}$。基准值 $3.8\times10^7$ 给出 $6.50\,\mathrm{keV}$，未缩放的 $3.0\times10^7$ 给出 $6.98\,\mathrm{keV}$，和论文印的6.5与7.0 keV 一致。反解式7，$m_\phi=10^{-22}\,\mathrm{eV}\,(M_0/1.6\times10^{10})^{-3/4}$。基准值 $M_0=1.8\times10^8$ 给出 $2.89\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，和印出的 $2.9\times10^{-21}$ 一致。论文只印了缩放后的粒子质量；按我们自己的计算，未缩放的 $1.4\times10^8$ 给出 $3.50\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$。

拟合是怎样搭起来的

数据是 DES 和 PS1 找到的卫星，每个巡天都有观测选择函数，说明一颗给定亮度、大小、距离和天球位置的卫星有多大可能被探测到。模型从两个类银河系宿主晕的纯暗物质放大模拟出发，它们的位力质量是 $1.57\times10^{12}$ 和 $1.26\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$。两个模拟里都有大麦哲伦云的类似物，作者早先的普查论文表明，要重现卫星在天空上的分布，这一点不可缺。

接着用一个经验的星系–晕模型把星系放进子晕。它的八个参数涵盖光度关系及其弥散、尺寸关系、承载可见星系的晕所占比例，以及银河系盘摧毁子晕的效率。暗物质以另一个参数进入，即 $\log_{10}M_{\mathrm{hm}}$ 或 $\log_{10}M_0$，先验在对数上均匀。每颗模拟卫星的探测概率乘上 $f_{\mathrm{DM}}$。似然函数按面亮度分箱，取泊松形式。采样器 emcee 用36个 walker 跑了 $10^5$ 次迭代，丢掉前 $2\times10^4$ 步。补充材料的95%区间表里，$M_{\mathrm{hm}}$ 和 $M_0$ 的下端都标明由先验决定，数据只给出上限时本来就会这样。

最后一步是缩放。宿主晕越重，子晕也越重，观测到的卫星就住在更重的子晕里，限制会放松。作者把每个上限乘以一个比值：盖亚卫星运动学允许的最大银河系质量，除以模拟的平均值 $1.4\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$。印出来的限制从 $3.0$ 变到 $3.8\times10^7$，从 $1.4$ 变到 $1.8\times10^8$，两个倍数都接近 $1.3$。我们读过的部分没有直接印出这个比值。按这两个四舍五入后的倍数推算，允许的最大质量在 $1.8\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$ 左右。

限制在哪里不够硬

模糊暗物质的子晕模型是最大的理论不确定性，论文也这么说。基准的 $f_{\mathrm{FDM}}$ 来自一个半解析模型，其中考虑了带孤子核心的子晕被潮汐剥离。若改用 Schive 等人的质量函数，即 $\tilde\beta=1.1$、$\tilde\gamma=-2.2$，得到 $M_0<3.4\times10^7\,\mathrm M_\odot$、$m_\phi>9.1\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，强了大约三倍。补充材料指出，Schive 的模拟用的是普通粒子加模糊暗物质的初始起伏，没有解薛定谔–泊松方程；而那个半解析模型也没有明确处理量子压强项。两者都不是对子晕的完整波动计算。

温暗物质的限制只适用于热遗迹。作者提到，为共振产生的惰性中微子构造的质量函数压低得明显更少。惰性中微子在补充材料里另行处理。

只模拟了两个宿主晕。作者把这一点列为同时影响准确度和精度的限制。

模型假设暗物质只改变子晕有多少，不改变它们在哪里绕行。作者说，对模糊暗物质这一点更不确定，因为波动的动力学摩擦不同；但他们估计，对主导限制的 $10^8\,\mathrm M_\odot$ 子晕影响可以忽略。

温暗物质拟合里没有核心。Read, Agertz and Collins 2016 在摘要里指出，有核心的矮星系更容易被潮汐撕碎，这在冷暗物质里同样会让子晕变少。Nadler 模型里的盘摧毁参数是拟合出来的，但它不是对反馈造出核心的建模，核心能让限制移动多少，我们也没有检验。Bullock and Boylan-Kolchin 2017, section 3.1 总结的模拟显示，在最低的恒星质量上，反馈造出的核心可以忽略，对极暗卫星来说，这个效应也许不大。

一处值得留意的单位差别

摘要和表 I 给出的模糊暗物质德布罗意波长是 $\lambda_{\mathrm{dB}}\lesssim0.5\,\mathrm{kpc}$，结果段落写的是 $0.5\,h^{-1}\,\mathrm{kpc}$。取 $h=0.7$，两者差 $1.4$ 倍。我们没有弄清作者本意是哪一个，也不去改任何一处。引用这个结果时，用粒子质量 $m_\phi>2.9\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，摘要、表 I 和结果段落在这个数上一致。

每条说法属于哪一类

把论文和这门课连起来

第3章里，3 keV 粒子的半模质量是 $4.9\times10^8\,\mathrm M_\odot$，约为 Nadler 限制的13倍。$m_{22}=1$ 的模糊暗物质，也就是论文所说曾被用来解释矮星系核心的那个质量，比模糊暗物质限制低约29倍。

配套实验用 Schneider 的场晕公式 $(1+M_{\mathrm{hm}}/M)^{-1.16}$ 画温暗物质的晕数，而不是 Nadler 的子晕公式。在 $M_{\mathrm{hm}}=3.8\times10^7$、$M=10^8\,\mathrm M_\odot$ 时，Schneider 形式给出 $0.688$，Nadler 形式给出 $0.497$。它们描述的对象不同，一个是宇宙场里的晕，一个是宿主晕里的子晕，来源的模拟也不同。实验里的晕数读数是场晕之比，和卫星计数的限制是两回事。

读任何卫星计数限制时的检查单

1. 用了哪些巡天天区、哪些选择函数，样本里有哪些卫星？
2. 用了哪些模拟宿主晕，几个，有没有大麦哲伦云类似物？
3. 子晕压低用的是哪个公式，来自哪些模拟？
4. 暗物质参数的先验是不是在对数上均匀，限制是不是贴着先验边界？
5. 银河系质量怎么处理：边缘化、固定，还是缩放？
6. 模型漏掉了什么：核心、波动干涉、子晕轨道的变化？
7. 哪些数在摘要里，哪些在表里，它们一致吗？

实验任务

1. 预测。在暗物质晕实验里选温暗物质，读6.5 keV 时的半模质量。它接近论文的 $3.8\times10^7\,\mathrm M_\odot$ 吗？别忘了两边的宇宙学参数不同。
2. 改一个条件。在 $10^9\,\mathrm M_\odot$ 的晕里，把模糊暗物质粒子质量从 $m_{22}=1$ 调到 $m_{22}=29$，观察晕数读数和孤子核心。
3. 解释。把温暗物质设为6.5 keV、晕质量设为 $10^9\,\mathrm M_\odot$。实验的晕数读数约为 $0.96$，而式4在论文限制处给出 $0.908$。给出两个原因。

练习

1. 用式4求：在基准温暗物质限制下，多大质量的子晕恰好少掉20%？
2. Schive 质量函数给出 $M_0<3.4\times10^7\,\mathrm M_\odot$。用式7验算印出的 $9.1\times10^{-21}\,\mathrm{eV}$，并求它和基准限制之比。
3. 假如后来的分析发现银河系晕质量最多 $1.2\times10^{12}\,\mathrm M_\odot$。按作者的线性缩放，温暗物质限制会变强还是变弱，大约对应多大的粒子质量？