尖峰和核心怎样改变转动曲线

先读不同的暗物质，能留下相似的小星系吗？，了解问题从哪里来。需要的数学是幂、对数和球的体积；积分会在下文当作“把薄球壳加起来”引入。学完以后，你应该能从密度分布算出圆周速度，推出冷暗物质晕内的质量，并从转速曲线的形状认出尖峰或核心。

单位和圆周速度

长度用千秒差距（kpc），质量用太阳质量，速度用公里每秒。1 kpc 是1000秒差距，约3260光年。在这套单位里，引力常量是

G=4.30091\times10^{-6}\,\mathrm{kpc\,(km\,s^{-1})^2\,M_\odot^{-1}}.

把原点放在晕的中心， $r$ 表示到中心的距离，并假设晕是球对称的。牛顿的球壳定理告诉我们：半径 $r$ 处的一颗测试星，只感受到轨道以内的质量 $M(<r)$ ，就好像这些质量都集中在中心。做圆周运动时，引力正好提供向心加速度：

\frac{V_{\mathrm c}^2}{r}=\frac{GM(<r)}{r^2} \qquad\Longrightarrow\qquad V_{\mathrm c}(r)=\sqrt{\frac{GM(<r)}{r}}.

$V_{\mathrm c}$ 叫圆周速度。真实的气体还会受恒星和气体自身的引力，也可能不走正圆。这里只留暗物质，好让暗物质分布的形状看得清楚。

把薄球壳加起来

密度 $\rho(r)$ 是单位体积里的质量，单位是 $\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$ 。半径 $r'$ 、厚度 $\Delta r'$ 的薄球壳，体积约为 $4\pi r'^2\Delta r'$ ，装着质量 $4\pi r'^2\rho(r')\Delta r'$ 。从中心一直加到 $r$ ，再让球壳无限变薄，就得到积分：

M(<r)=\int_0^r 4\pi r'^2\rho(r')\,\mathrm dr'.

最简单的是均匀核心， $\rho=\rho_0$ 。每层球壳密度都一样，于是

M(<r)=\frac{4\pi}{3}\rho_0r^3,\qquad V_{\mathrm c}=r\sqrt{\frac{4\pi G\rho_0}{3}}.

速度和 $r$ 成正比，像一只转动的轮子上各点的速度。

例2.1 取 $\rho_0=0.04\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ 。先换单位：一立方千秒差距含 $10^9$ 立方秒差距，所以 $\rho_0=4\times10^7\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$ 。在 $r=0.5\,\mathrm{kpc}$ 处，

V_{\mathrm c}=0.5\sqrt{\frac{4\pi(4.30091\times10^{-6})(4\times10^7)}{3}}\simeq13.4\,\mathrm{km\,s^{-1}}.

冷暗物质的密度分布

冷暗物质模拟出的晕，相当好地符合 Navarro、Frenk 与 White 给出的分布：

\rho(r)=\frac{\rho_{\mathrm s}}{(r/r_{\mathrm s})\,(1+r/r_{\mathrm s})^2}.

标度半径 $r_{\mathrm s}$ 是曲线拐弯的地方， $\rho_{\mathrm s}$ 决定整体高低。Navarro、Frenk 与 White 1997，式1 要看清拐弯，用对数斜率，也就是密度在局部跟着 $r$ 的几次方变化。记 $x=r/r_{\mathrm s}$ ，

\gamma(r)\equiv\frac{\mathrm d\ln\rho}{\mathrm d\ln r}=-1-\frac{2x}{1+x}.

靠近中心 $x\ll1$ ， $\gamma\to-1$ ，密度像 $1/r$ 那样往上升，这就是尖峰。很远的地方 $\gamma\to-3$ 。核心的 $\gamma$ 接近零。

现在把球壳加起来。令 $y=r'/r_{\mathrm s}$ ，则 $\mathrm dr'=r_{\mathrm s}\,\mathrm dy$ ：

M(<r)=4\pi\rho_{\mathrm s}r_{\mathrm s}^3\int_0^x\frac{y}{(1+y)^2}\,\mathrm dy.

再换元 $u=1+y$ ，被积函数变成 $(u-1)/u^2=1/u-1/u^2$ ，它的原函数是 $\ln u+1/u$ 。从 $u=1$ 算到 $u=1+x$ ，得到 $\ln(1+x)+1/(1+x)-1$ ，即

M(<r)=4\pi\rho_{\mathrm s}r_{\mathrm s}^3\left[\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\right].

检查 $x$ 很小的极限：方括号从 $x^2/2$ 开始，于是 $M\propto r^2$ ，中心附近 $V_{\mathrm c}\propto\sqrt r$ 。

定下一个晕的大小

晕要有质量，先得有一条外边界。常用的是维里半径 $r_{\mathrm{vir}}$ ：它以内的平均密度，是今天宇宙临界密度 $\rho_{\mathrm{crit}}$ 的 $\Delta$ 倍。我们参照计算所用的宇宙学参数是 $h=0.6766$ 、物质占比 $\Omega_{\mathrm m}=0.3096$ ，于是 $\rho_{\mathrm{crit}}=277.5h^2=127.05\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$ 。超密度取 Bryan 与 Norman 的拟合：

\Delta=18\pi^2+82(\Omega_{\mathrm m}-1)-39(\Omega_{\mathrm m}-1)^2\simeq102.5.

可以用来检验这个式子：Nadler 等人在物质占比0.286时给出 $\Delta\simeq99.2$ ，代入同一个式子正好得到这个数。Nadler 等 2021，子晕质量函数一段晕的质量和半径于是满足

M_{\mathrm{vir}}=\frac{4\pi}{3}\Delta\rho_{\mathrm{crit}}r_{\mathrm{vir}}^3.

聚集度 $c=r_{\mathrm{vir}}/r_{\mathrm s}$ 表示质量往中心收得多紧。Dutton 与 Macciò 拟合了模拟的晕，在红移为零时得到

\log_{10}c=1.025-0.097\log_{10}\!\left(\frac{M_{\mathrm{vir}}}{10^{12}\,h^{-1}\,\mathrm{M_\odot}}\right).

Dutton 与 Macciò 2014，式9 他们的模拟最小到约 $10^{10}\,h^{-1}\,\mathrm{M_\odot}$ ，用到更小的晕属于外推。

例2.2 取 $M_{\mathrm{vir}}=10^{10}\,\mathrm{M_\odot}$ 。由维里关系解出 $r_{\mathrm{vir}}\simeq56.8\,\mathrm{kpc}$ 。此时 $M_{\mathrm{vir}}h=6.77\times10^9\,\mathrm{M_\odot}$ ，拟合给出 $c\simeq17.2$ ， $r_{\mathrm s}=r_{\mathrm{vir}}/c\simeq3.30\,\mathrm{kpc}$ 。维里半径以内的质量必须等于 $M_{\mathrm{vir}}$ ，而 $\ln(1+c)-c/(1+c)\simeq1.956$ ，所以

\rho_{\mathrm s}=\frac{M_{\mathrm{vir}}}{4\pi r_{\mathrm s}^3\,(1.956)}\simeq1.13\times10^7\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}.

接着读晕的内部。在 $r=0.15\,\mathrm{kpc}$ ， $x=0.0454$ ，密度为 $2.27\times10^8\,\mathrm{M_\odot\,kpc^{-3}}$ ，也就是 $0.227\,\mathrm{M_\odot\,pc^{-3}}$ 。在 $r=0.3\,\mathrm{kpc}$ ，斜率是 $-1.17$ 。1 kpc 以内的质量是 $1.64\times10^8\,\mathrm{M_\odot}$ ，所以 $V_{\mathrm c}(1\,\mathrm{kpc})\simeq26.6\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 。转速继续升高，在 $7.1\,\mathrm{kpc}$ 处达到最大值 $37.9\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ，那里 $x\simeq2.16$ 。

两条曲线放在一起

在 $0.5\,\mathrm{kpc}$ ，冷暗物质晕给出 $20.4\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ，例2.1的均匀核心给出 $13.4\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 。尖峰把更多质量塞在中心，转速升得更早也更快。实测转动曲线如果在里面半个千秒差距内沿直线上升，指向核心；如果像平方根那样上升，指向尖峰。Bullock 与 Boylan-Kolchin 用两个实测矮星系画出了这种对比。Bullock 与 Boylan-Kolchin 2017，第2.2节与图9

这里比较的两种密度并不是同一个晕只改了一处。造出暗物质核心的三种方式会造出在外侧平滑接上冷暗物质晕的核心，并在晕质量相同时比较它们。在那之前，温暗物质和模糊暗物质怎样抹掉小起伏先问：那些根本没形成的晕去了哪里。

实验任务

先预测再看。选冷暗物质模型，晕质量 $10^{10}\,\mathrm{M_\odot}$ 。圆周速度在哪个半径达到8千秒差距处数值的一半？然后沿转动曲线拖动金色星标检验。
改一个条件。质量不变，换成自相互作用模型，读出300秒差距处的密度斜率，和冷暗物质的值比较。
比较。在两种模型里都把星标放在0.5千秒差距，记下两个速度。哪一种的速度更接近随半径直线增长？
解释。在冷暗物质模型里把晕质量调到 $10^{11}\,\mathrm{M_\odot}$ 。为什么300秒差距处的斜率更接近 $-1$ ？

练习

设中心附近 $\rho\propto r^{-\gamma}$ ，且 $\gamma<3$ 。证明 $V_{\mathrm c}\propto r^{1-\gamma/2}$ 。尖峰 $\gamma=1$ 和核心 $\gamma=0$ 的指数各是多少？
在 $\Delta$ 和 $\rho_{\mathrm{crit}}$ 不变时，晕的质量翻倍， $r_{\mathrm{vir}}$ 变为原来的几倍？
一个矮星系在 $0.5\,\mathrm{kpc}$ 处测得气体速度 $13\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ，在 $1\,\mathrm{kpc}$ 处测得 $26\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 。它更像尖峰还是核心？下结论前还要检查什么？

答案

球壳积分给出 $M(<r)\propto\int_0^r r'^{2-\gamma}\mathrm dr'\propto r^{3-\gamma}$ ， $\gamma<3$ 时在中心收敛。于是 $V_{\mathrm c}^2\propto M/r\propto r^{2-\gamma}$ ，即 $V_{\mathrm c}\propto r^{1-\gamma/2}$ 。尖峰 $\gamma=1$ 给出 $r^{1/2}$ ，核心 $\gamma=0$ 给出 $r^1$ 。
由 $M_{\mathrm{vir}}\propto r_{\mathrm{vir}}^3$ ，半径变为 $2^{1/3}\simeq1.26$ 倍。
半径加倍，速度也加倍，这是核心的直线上升；纯尖峰只会让速度变为 $\sqrt2\simeq1.41$ 倍。下结论前，要先扣掉恒星和气体的引力，再检查气体有没有非圆周运动、有没有压力支撑。这些因素对内部转速的影响，都可能和尖峰与核心的差别一样大。