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Sandbox Physics

M071 · 球对称引力

引力场与壳层定理

进到空心球壳里面，球壳的引力去了哪里？ 哪儿也没去，是抵消了。在均匀球壳里面，近处的壳离得近、拉得强，但质量少；远处的壳拉得弱，质量却多，两边正好平衡。壳内处处场强为零，引力势却不是零，而是一个常数，和壳表面的势相同。

设定三层球壳的密度，沿半径移动探针读取引力场，再让质点从沿直径挖通的隧道里落下。比较空腔和均匀球体，最后用球外测到的加速度称出引力源的质量。

交互模型引力场与壳层定理
选中时间就绪\text{就绪}
探针半径就绪\text{就绪}
探针处向内加速度就绪\text{就绪}
探针包围质量就绪\text{就绪}
探针处单位质量势能就绪\text{就绪}
源总质量就绪\text{就绪}
隧道质点位置就绪\text{就绪}
隧道质点速度就绪\text{就绪}
重力时钟就绪\text{就绪}
最大单位质量能量误差就绪\text{就绪}
终点细化差就绪\text{就绪}
原始外部扫描拟合质量就绪\text{就绪}
采集场测点数就绪\text{就绪}

物理教程

球对称源、场与隧道

背景球对称的引力源总是把物体拉向球心，拉力多大，取决于质量怎样分布。

为什么值得理解把画面、算出的轨迹和另外采集的传感器读数对应起来看。

先抓重点

核心问题
进到空心球壳里面，球壳的引力去了哪里？
一句话直觉
场为零，势不一定为零。

核心数学模型

半径以内的质量

M(<r)=4π∫0rρ(s)s2 dsM(<r)=4\pi\int_0^r\rho(s)s^2\,ds

各层密度决定每个半径以内有多少质量；更外面的球壳在这里的合力为零。

场与势

g(r)=GM(<r)r2Φ(r)=−G[M(<r)r+4π∫rRρ(s)s ds]\begin{aligned}g(r)&=\frac{GM(<r)}{r^2}\\\Phi(r)&=-G\left[\frac{M(<r)}r+4\pi\int_r^R\rho(s)s\,ds\right]\end{aligned}

外侧球壳在空腔里不产生力，却仍给空腔贡献一个常数势。球心处直接取极限值，不会出现除以零。

均匀球内的简谐运动

g(r)=4πGρ3r(r≤R)x(t)=x0cos⁡(4πGρ3 t)\begin{aligned}g(r)&=\frac{4\pi G\rho}{3}r\quad(r\le R)\\x(t)&=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\,t\right)\end{aligned}

在均匀球内从静止释放，质点做简谐运动；经过球心时，力也不会变成无穷大。

单位质量能量

ε=12x˙2+Φ(∣x∣)\varepsilon=\frac12\dot x^2+\Phi(|x|)

理想化的隧道沿直径挖通，但不挖走引力源的任何质量。

从球外推断质量

gi=GM ri−2g_i=GM\,r_i^{-2}

用球外测得的原始加速度和校准过的半径，拟合一条过零点的直线，求出斜率。拟合时不告诉它源的质量。

常见难点

模型的前提

容易误解理想模型自然就能描述真实行星或已经松弛的星团。

正确理解引力源是给定的，质点不会反过来影响它，省略了哪些效应也都写明了。

动手实验

  1. 01

    移动场探针

    从中心向外拖动蓝色手柄，对比实线场与虚线球外点质量参考。

    你会看到： 空腔内加速度为零，势能仍为负。
  2. 02

    改变引力源

    依次试“均匀球体”“致密核心”“空心球壳内静止”，再改动三层密度。

    你会看到： 密度在哪里变化，会影响球内的场；球外各点的场只取决于总质量。
  3. 03

    穿越空腔

    比较“空心球壳内静止”和“穿过空腔”两个预设，拖动金色时间手柄。

    你会看到： 质点进入没有引力的空腔后，保持进入时的速度继续前进。
  4. 04

    用读数称出质量

    采集一次径向扫描，加上噪声，再导出原始 CSV。

    你会看到： 球外读数拟合出的质量和精确的源质量分开显示。
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