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Sandbox Physics

M071 · 球对称引力

引力场与壳层定理

编辑三层球体密度，移动径向场探针并沿直径隧道释放质点。对比空腔与均匀球体，再用采集的外部加速度称量引力源。

交互模型引力场与壳层定理
选中时间就绪\text{就绪}
探针半径就绪\text{就绪}
探针处向内加速度就绪\text{就绪}
探针包围质量就绪\text{就绪}
探针处单位质量势能就绪\text{就绪}
源总质量就绪\text{就绪}
隧道质点位置就绪\text{就绪}
隧道质点速度就绪\text{就绪}
重力时钟就绪\text{就绪}
最大单位质量能量误差就绪\text{就绪}
终点细化差就绪\text{就绪}
原始外部扫描拟合质量就绪\text{就绪}
采集场测点数就绪\text{就绪}

物理教程

球对称源、场与隧道

背景径向力由源及其几何确定。

为什么值得理解连接场景、轨迹及独立采集的传感器记录。

先抓重点

核心问题
消失的引力去了哪里？
一句话直觉
零场不意味着零势。

核心数学模型

包围质量

M(<r)=4π∫0rρ(s)s2 dsM(<r)=4\pi\int_0^r\rho(s)s^2\,ds

可编辑层决定包围质量，外侧球壳的力相互抵消。

场与势

g(r)=GM(<r)r2Φ(r)=−G[M(<r)r+4π∫rRρ(s)s ds]\begin{aligned}g(r)&=\frac{GM(<r)}{r^2}\\\Phi(r)&=-G\left[\frac{M(<r)}r+4\pi\int_r^R\rho(s)s\,ds\right]\end{aligned}

外侧球壳仍为空腔提供常数势，中心极限不使用除零计算。

均匀球基准

g(r)=4πGρ3r(r≤R)x(t)=x0cos⁡(4πGρ3 t)\begin{aligned}g(r)&=\frac{4\pi G\rho}{3}r\quad(r\le R)\\x(t)&=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\,t\right)\end{aligned}

均匀球内静止释放为简谐运动，穿过中心不会产生奇异力。

单位质量能量

ε=12x˙2+Φ(∣x∣)\varepsilon=\frac12\dot x^2+\Phi(|x|)

理想隧道沿直径，并不移除源质量。

外部质量推断

gi=GM ri−2g_i=GM\,r_i^{-2}

用原始外部加速度及校准半径拟合过物理零点的斜率，不向拟合传入源质量。

常见难点

前提边界

容易误解理想模型自动描述真实行星或已松弛星团。

正确理解引力源给定，质点无反作用，并明确省略效应。

动手实验

  1. 01

    移动场探针

    从中心向外拖动蓝色手柄，对比实线场与虚线球外点质量参考。

    应该观察到： 空腔内加速度为零，势能仍为负。
  2. 02

    改变引力源

    尝试均匀球体、致密核心及空心球壳内静止，并编辑三层密度。

    应该观察到： 密度边界改变内部场，球外各点仅取决于总质量。
  3. 03

    穿越空腔

    比较空腔内静止释放与穿过空腔，拖动金色时间手柄。

    应该观察到： 进入零场空腔的质点保持已有速度。
  4. 04

    用读数称量

    采集径向扫描，加入噪声并导出原始 CSV。

    应该观察到： 外部拟合与精确源质量分别输出。