由视差求几何距离
视差是以一个天文单位为基线的角半长轴。地球位于轨道两端时，恒星的表观位置最多相隔这个角的两倍。
AC01 · 测出星空的深度
恒星视差与自行
天空中挨着的两颗星，在空间里也离得近吗？ 可能相隔很远。地球绕太阳运动时，近星相对远处背景摇摆得更大。量出这种一年往复的位移，就能估计距离；星体持续向一边移动，则叫自行。
把恒星拖近，看看地球绕到另一侧后，视线怎样改变。用一串模拟位置分出每年往复的视差和持续移动的自行。
真实距离
拟合视差
视差标准误
拟合东向自行
天空位置画出移动的环
青色：理想单星轨迹。金色点：模拟观测。白色：五参数拟合。两轴均以毫角秒计。
拟合质量与模型范围
误差椭圆的主轴长度各为一个标准差。模拟噪声已知，参数协方差不再乘以残差估计的尺度。空间图压缩距离，角位置图采用切平面模型。真实 Gaia 星表误差与另附公开数据教程各自标明来源。
物理教程
近星怎样相对远处天空摇摆
背景伸出一根手指，轮流闭上左右眼。手指会相对房间背景跳动，因为两只眼睛站在不同位置看它。地球绕太阳一周，给出一条长得多的观测基线。
为什么值得理解极小的年度摇摆能给出几何距离。把它和恒星持续移动的部分分开，一张看似平面的星图就有了深度。
先抓重点
- 核心问题
- 怎样分开距离和恒星本身的运动？
- 一句话直觉
- 视差每年重复，自行则持续积累。
核心数学模型
同时拟合往复和累积的位移
时间以年计，切平面位置和视差以毫角秒计，自行以毫角秒每年计。恒星黄经取零，黄纬为贝塔，圆形观测轨道从空间正横轴出发。
常见难点
全幅位移是视差的两倍
容易误解隔半年测得的位移就是视差。
正确理解视差是椭圆的半长轴。在合适的轨道相位，隔半年的两个位置位于椭圆两端，间隔为两倍视差。
椭圆也会持续移动
容易误解一年以后恒星一定回到原来位置。
正确理解视差的周期运动重复，自行却把整条轨迹继续往前带。拟合要同时保留这两部分。
动手实验
- 01
把恒星推远
先选“近处移动的星”，再把亮星向右拖。
你会看到： 距离增大，视差减小。模拟位置沿用相同噪声，小幅摇摆便更难认出。 - 02
沿轨道平面看
依次选“黄道上的直线”和“极点附近的圆”。
你会看到： 地球轨道投到黄道上的星旁边是一条线，投到黄道极点旁边是一个圆，中间纬度则是椭圆。 - 03
分出持续移动的部分
固定距离，把“东向自行”调过零，再导出观测。
你会看到： 轨迹从移动的环变成闭合椭圆。导出的记录保存了实际参与拟合的那些点。
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