从地球轨道推到恒星的视差椭圆

先把距离和角度说清楚

把太阳放在空间原点。黄道平面是水平面，恒星黄经取零，黄纬记为 $\beta$ 。从太阳指向恒星的单位方向向量是 $\boldsymbol n=(\cos\beta,0,\sin\beta)$ 。“单位”表示它只记录方向，长度为一。

距离记为 $r$ ，以秒差距计。地球轨道半径取一个天文单位，轨道周期取一年。时间 $t$ 从地球在正横轴的位置开始，用年计。暂时把轨道当作圆，观测者的位置以天文单位表示为 $\boldsymbol R=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t,0)$ 。

角位置只看垂直于恒星方向的变化。想象在星的方向上放一张与视线垂直的小纸片，这就是天球切平面。纸上的东向沿黄经增加的方向，北向沿黄纬增加的方向。

\boldsymbol e_x=(0,1,0),\qquad\boldsymbol e_y=(-\sin\beta,0,\cos\beta)

这两个基向量互相垂直，也都垂直于恒星方向。在很小的天空区域内，角位置可以沿这两根轴相加。

恒星空间位置为 $D\boldsymbol n$ ，这里 $D$ 用天文单位表示。观测者从原点移动到 $\boldsymbol R$ 后，未归一化的视线变为 $D\boldsymbol n-\boldsymbol R$ 。距离远大于轨道半径，只保留轨道半径与距离比值的一阶项。

沿着原视线的移动主要改变距离；垂直部分才改变方向。方向改变量是 $-[\boldsymbol R-(\boldsymbol R\cdot\boldsymbol n)\boldsymbol n]/D$ 。点积的意思是：同一方向的分量相乘，再把三个结果加起来。它给出一个向量在另一方向上的分量。

分别投到东向和北向。因为这两根轴垂直于 $\boldsymbol n$ ，括号中的沿视线项都消失，剩下观测者位置在切平面上的负投影。一个天文单位在距离 $r$ 处对应的角度就是视差。

\Delta x=-\varpi\sin(2\pi t),\qquad \Delta y=\varpi\sin\beta\cos(2\pi t)

东向与北向角位移、视差使用同一角单位。负号来自观测者向一侧移动时，近星相对远处背景向另一侧移动。

东向摇摆的半幅为 $\varpi$ ，北向半幅为 $\varpi|\sin\beta|$ 。黄道上的星只有东向往复运动，极点上的星在两个方向具有相同半幅，走成圆。中间纬度给出椭圆。南北黄纬的符号改变了沿椭圆运动的方向。

取黄纬三十度、距离二十秒差距。视差为五十毫角秒，北向半幅为二十五毫角秒。隔半年选在东向位移的两端，两个位置相差一百毫角秒。恒星到太阳的真实距离并没有在半年内变成另一数值；变的是观察方向。

\varpi\,[\mathrm{mas}]=\frac{1000}{r\,[\mathrm{pc}]},\qquad a=50\,\mathrm{mas},\quad b=50\sin30^\circ=25\,\mathrm{mas}

秒差距按一个天文单位对应一角秒的视差来定义。恒星视差远小于一弧度，所以正切与角度的小角近似极其准确。

以参考时刻的切平面位置 $x_0$ 和 $y_0$ 为起点。自行 $\mu_x$ 与 $\mu_y$ 表示一年积累多少角位移。短时间内把它们视为常数，位置就是起点、匀速漂移和年度视差三项之和。

例如东向自行十八毫角秒每年，北向自行七点二毫角秒每年。两年后，椭圆中心向东移三十六毫角秒，向北移十四点四毫角秒。每次一年周期仍在，轨迹却不会闭合。

几何上得到距离以后，可以再求横向速度。把角速度换成弧度每年，乘距离，就得到一年走过的长度。一个天文单位每年约为每秒四点七四零四七千米，由此得到常用换算。

x(t)=x_0+\mu_xt+\varpi P_x(t),\quad y(t)=y_0+\mu_yt+\varpi P_y(t)

这里把两个正弦投影分别简写为视差因子。测量模型共有两个起始位置、两个自行和一个视差。

v_\perp[\mathrm{km\,s^{-1}}]=4.74047\,r[\mathrm{pc}]\,\mu[\mathrm{arcsec\,yr^{-1}}]

自行总量是两个切平面分量平方和的平方根。距离二十秒差距、自行总量一角秒每年，对应横向速度约每秒九十四点八千米。

圆轨道让投影关系容易看清。真实观测需要精确星历，卫星也不恰好待在地球中心。高精度模型还要处理光行差、光线被引力偏折，以及参考系和仪器校准。

匀速自行适合有限的时间跨度。很近且径向速度大的恒星会出现透视加速；双星的光心轨道也会叠加弯曲。下一章先研究在既定单星模型里如何拟合，最后的论文阅读再把这些现实问题接回来。