AC02 · 数一数星光

拥挤星场测光

旁边一颗星，能让恒星看起来变亮吗？ 能。圆形孔径也会收进邻星散开的光，让目标显得更亮。把两颗星的光分布一起拟合，可以分开它们的亮度；两团光越重叠，分开的误差就越大。

把橙色邻星拖进青色孔径，看它的光怎样混进测量。比较圆形孔径与双星拟合，它们读取同一幅带噪声的探测器图像。

孔径亮度，已补偿漏光 $8.32\times10^3\,\mathrm e^{-}$

双星拟合的目标亮度 $6.76\times10^3\,\mathrm e^{-}$

拟合误差，一个标准差 $104\,\mathrm e^{-}$

孔径混入的邻星光 $1.55\times10^3\,\mathrm e^{-}$

收进来的光属于谁？

孔径半径

2.8

r\;[\mathrm{pixel}]

恒星间距

3.2

d\;[\mathrm{pixel}]

光斑宽度

1.2

\sigma\;[\mathrm{pixel}]

邻星与目标平均亮度之比

0.8

F_{\mathrm n}/\overline F_{\mathrm t}

每个像素的天空光电子

90

B\;[\mathrm e^{-}]

拖动橙色恒星或青色孔径。每次曝光，两种方法都读取同一幅像素图。

背景误差与阅读

每像素额外扣除背景

0

\Delta B\;[\mathrm e^{-}]

拟合已知星的位置、高斯光斑和真实像素方差，并同时求常数背景。真实图像还需要独立标定。

学习测光，提取一条真实 TESS 光变曲线

模型假设

探测器图像为合成数据。两颗星的位置和圆形高斯点扩散函数已知；每个像素先积分光分布，再加入独立的泊松光电子和高斯读出噪声。孔径按覆盖面积给像素加权，并用已知模型补偿漏光；拟合同时求两颗星的亮度和常数背景，权重由真实模型方差给定。这些理想条件没有考虑点扩散函数误差、饱和、宇宙线、平场误差和像素间相关。青色恒星按正弦规律变亮变暗，演示时间已加速。独立的 TESS 教程使用实测 SPOC 像素，其中背景已扣除。

跟着同一颗星，看两种测量

白色：注入的目标亮度。青色：双星拟合。橙色：按已知目标光斑补偿漏光后的孔径亮度。单位均为每次合成曝光的光电子。

连续合成曝光

F\;[\mathrm e^{-}]

误差包含哪些因素

拟合误差来自两个像素积分高斯光斑与常数背景的加权线性拟合，包含光子噪声和读出噪声。星的位置、光斑宽度和权重由生成模型提供。真实观测中，这些输入自身的误差也会影响结果。“混入的邻星光”是理想模型贡献，与孔径亮度使用相同的目标漏光补偿。

探测器把合成曝光的像素计数映成同一套显示颜色。仅在显示时扣除已知输入背景，负值显示为最暗色，再用反双曲正弦拉伸从暗蓝映到白色；显示上限是高于背景一千光电子。青色和橙色只标出已知孔径与星的位置。保存像素和两种测量仍使用原始计数。

\widehat{\boldsymbol f}=(A^{\mathsf T}WA)^{-1}A^{\mathsf T}W\boldsymbol y,\qquad\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol f})=(A^{\mathsf T}WA)^{-1}

先抓重点

核心问题: 同一幅探测器图像，为什么会测出两种亮度？
一句话直觉: 孔径按范围加像素，双星拟合按空间形状分配星光。

核心数学模型

一个像素里装着哪些光

y_i=F_{\mathrm t}P_{i\mathrm t}+F_{\mathrm n}P_{i\mathrm n}+B+\epsilon_i

目标与邻星各自贡献总光电子数乘以落进该像素的比例。常数天空背景加到每个像素上，噪声让实测值在均值周围起伏。

补上孔径漏掉的目标光

\widehat F_{\mathrm{ap}}=\frac{\sum_i w_i(y_i-\widehat B)}{\sum_i w_iP_{i\mathrm t}}

权重表示像素面积有多少被孔径覆盖。分母是按这些权重收到的目标光斑比例。它补偿目标漏光，分子里混入的邻星光仍会留下。

像素为什么起伏

\operatorname{Var}(y_i)=F_{\mathrm t}P_{i\mathrm t}+F_{\mathrm n}P_{i\mathrm n}+B+\sigma_{\mathrm{read}}^2

独立泊松光电子的方差等于预期数量，读出再贡献独立方差。此处拟合直接使用合成模型的真实方差。

常见难点

多圈几个像素，测量不一定更好

容易误解孔径越大越好，因为能收进更多目标光。

正确理解外圈像素里的目标光越来越少，背景噪声和邻星光还在增加。只改半径，比较补偿后的孔径亮度与白色注入曲线，就能看到这种取舍。

动手实验

01
把邻星移远
选“把邻星移远”，再把橙色恒星拖向青色孔径。
你会看到： 邻星的光越混越多，孔径亮度便往上偏。双星拟合仍跟着目标注入亮度走。
02
让两团光融在一起
选“两团光融在一起”，再减小恒星间距。比较拟合误差与孤立恒星预设。
你会看到： 两颗星的光分布越来越像，分配亮度更难。拟合均值可以仍然正确，误差却会增大。
03
把背景估错
选“背景扣得太多”，展开背景误差，只改每像素额外扣除背景。
你会看到： 每个覆盖像素都多减一些光电子，孔径结果就往下偏。双星拟合从图像中一起求常数背景。

拥挤星场测光

跟着同一颗星，看两种测量

分开两团重叠的星光

核心数学模型

一个像素里装着哪些光

补上孔径漏掉的目标光

像素为什么起伏

常见难点

多圈几个像素，测量不一定更好

动手实验

把邻星移远

让两团光融在一起

把背景估错

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