从一个光电子走到一圈像素

先约定数的是什么

探测器平面以像素为长度单位，像素中心的横坐标 $x$ 向右增加，纵坐标 $y$ 向下增加。一次曝光中，恒星一共贡献 $F$ 个光电子，天空在每个像素平均贡献 $B$ 个光电子。光电子是探测器收集的电荷计数；只有量子效率为一且无额外损失时，它才与入射光子数相同。

亮度可以用每次曝光的光电子数，也可以用每秒光电子数表示。两者相差曝光时间。后面的 TESS 数据以每秒为单位，浏览器演示按每次曝光计数；比较前要先统一单位。

设 $P(x,y)$ 为归一化光分布，每单位像素面积分到多少比例。归一化的意思是，把整个平面加起来得到一。像素有限大，应该把分布在小方块里积分，而不是只读方块中心。积分可以理解成把方块切得很细，逐份相加。

\iint P(x,y)\,dx\,dy=1,\qquad P_i=\int_{x_i-1/2}^{x_i+1/2}\int_{y_i-1/2}^{y_i+1/2}P(x,y)\,dy\,dx

落进第一个像素的比例是一个数，落进第二个的比例又是一个数。乘以恒星总光电子数，才得到各像素的平均计数。

把同一颗恒星重复拍很多次，各次计数会围绕一个平均值起伏。对于独立的光子到达，计数服从泊松分布：平均收到 $N$ 个，方差也是 $N$ 。方差衡量偏离平均值的平方有多大；它的平方根叫标准差。

平均一万光电子的计数，光子噪声标准差约为一百，相对起伏约百分之一。平均只收到一百，标准差约十，相对起伏就是百分之十。读出电路也会加噪声；独立噪声的方差可以直接相加。

\mathbb E[N]=\lambda,\quad\operatorname{Var}(N)=\lambda,\quad\sigma_N=\sqrt\lambda,\qquad\operatorname{Var}(y_i)=FP_i+B+\sigma_{\mathrm{read}}^2

这里读出噪声用光电子的标准差表示，最后一项必须平方。模型省略暗电流和平场误差。

用 $w_i$ 表示第 $i$ 个像素有多少面积落在圆内。完全在内时是一，完全在外时是零，边缘取中间值。先减掉每像素背景，再按这个权重相加。若恒星落在孔径内的加权比例为 $E$ ，把和除以 $E$ ，就补偿了模型预计的漏光。

圆形高斯光斑有一个便于检查的极限：连续平面上的圆孔径正对星心时，可以用半径做径向积分。圆越大，包围能量越接近一。像素上的面积加权是近似测量规则；像素较粗时，应该保留实际的像素积分与权重。

E=\sum_iw_iP_i,\qquad\widehat F=\frac{\sum_iw_i(y_i-\widehat B)}E

分母与分子的权重一致。孔径偏离星心时，必须用偏移后的光分布重算分母。

P(r)=\frac{e^{-r^2/(2\sigma^2)}}{2\pi\sigma^2},\qquad E(<R)=\int_0^R2\pi rP(r)\,dr=1-e^{-R^2/(2\sigma^2)}

高斯宽度和半径都以像素为单位。在高斯密度中换元，可直接得到最后一个指数表达式。

看一个简化例子：一颗星总共贡献一万光电子，孔径收到其中九成。圆内有二十五个完整像素，每个像素背景一百、读出噪声标准差四。没有邻星，背景均值也已准确知道。圆内平均总数是一万一千五百；减去二千五百背景，得到九千，再除以九成，回到一万。

噪声方差却包含九千目标光电子、二千五百背景光电子，以及二十五份读出方差。总数是 $9000+2500+25\times16=11900$ ，标准差约一百零九；除以九成后，亮度标准差约一百二十一。信噪比就是信号除以标准差，约八十二点五。背景扣掉以后仍贡献噪声。

若用别处的像素估计背景，背景估计本身也有误差。同一个估计值被减了很多次，让所有孔径像素共享一项误差。

\operatorname{Var}(\widehat F)=\frac{\sum_iw_i^2\operatorname{Var}(y_i)+(\sum_iw_i)^2\operatorname{Var}(\widehat B)}{E^2}

这里假设背景估计来自独立区域；若它与孔径像素相关，还需加入协方差。教学 Lab 的孔径背景值作为已知输入，不估计这一项。

靠近光斑中心，新增像素带来很多星光。到了边缘，新增星光很少，背景噪声却还在增加。最好的半径取决于光斑、背景和附近的天体。并没有适合所有照片的固定大小。

把例子中的天空背景提高十倍，试着重新算一次信噪比。再问：延长曝光让目标光与天空光都增加时，哪一项先占优势？这样思考，比记住一个“最佳孔径”更能应对新照片。