光学 052 · 干涉、相干、光腔与精密测量

恒星干涉测径

联动三维恒星干涉仪移动两台对天收集望远镜及双反射延迟镜架，记录互补相移探测功率，由基线扫描拟合均匀星盘直径或双星投影间距。

恢复的可见度／可见度平方

|\widehat V|,|\widehat V|^2

$0.50$

天空投影基线／已跟踪几何延迟

B_\perp,g

$50\%$

拟合角尺度／记录残差

\widehat\theta_{\mathrm{UD}},|\widehat s_\parallel|

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

恒星干涉测径

望远镜真实地面间距

B

60\,\mathrm m

均匀星盘角直径（不是半径）

\theta_{\mathrm{UD}}

4\,\mathrm{mas}

单色真空波长

\lambda

1650\,\mathrm{nm}

目标偏离竖直的角度

\zeta

20^{\circ}

地面基线方位角

\psi

0^{\circ}

自动跟踪后的延迟镜微调

\Delta d

0\,\mu\mathrm m

双星真实角间距

s

6\,\mathrm{mas}

天空切平面中的双星位置角

\beta

30^{\circ}

伴星／主星亮度比（拟合时已知）

r

1

先看单星：拉开望远镜，记录的条纹对比度降低。切到首个零点：越过零点后，对比度重新出现，但条纹反相。缩短波长或增大角直径，零点向内移动。旋转地面基线或倾斜目标，会改变天空投影及跟踪延迟。镜面微调只移动单色条纹相位，不改变可见度。切到双星，让间距方向与投影基线垂直：这对星会与单个点不可区分。灰曲线拟合绿色记录点，从不读取天空图。可在光路俯视中拖动望远镜 A；滑块支持键盘。播放只移动光路标记。

远场单色标量教学模型；空间非相干均匀星盘或两个未分辨分量，等收集功率及理想标定相移。0.25 米收集孔径假定角耦合平坦，不求望远镜点扩散。固定方向预采集零到 200 米真实基线的 81 份记录；零基线端点为数学标定，不表示器件重叠。不含临边昏暗、带宽、大气、噪声、偏振、通量标定、天空图像重建或观测精度宣称。望远镜间距每米映射三世界单位，器件额外放大。镜架按跟踪光程每米 0.7 世界单位及微调每微米 15 世界单位独立映射，不用示意臂长算相位。镜面微调的光程增量是真实移动的两倍。原始功率图采用固定线性标尺。探测面亮度为带固定 15% 可见底色的示意，不是标定功率读数。

物理教程

审查恒星干涉测径的物理过程

背景恒星表面不是激光。不同表面位置独立发光，但每个位置都有光到达两台望远镜。叠加各位置的强度条纹得到 $V=\widetilde I(\mathbf b/\lambda)/\widetilde I(\mathbf0)$ 。这一归一化傅里叶积分是 van Cittert–Zernike 关系。它连接天空亮度和收集面之间的互相干性，不代表直接拍到了星盘。

为什么值得理解条纹可见度随基线的变化，怎样揭示单台望远镜无法分辨的星盘？

先抓重点

核心问题: 条纹可见度随基线的变化，怎样揭示单台望远镜无法分辨的星盘？
一句话直觉: 对均匀明亮的圆形星盘，角直径进入 $V_{\mathrm{UD}}=\frac{2J_1(x)}{x},\quad x=\pi B_\perp\theta_{\mathrm{UD}}/\lambda$ 。对比度在首个 Bessel 零点消失，再以反相条纹重新出现。记录多条基线并拟合恢复的可见度平方，能获得单个收集面无法单独成像的角直径。

核心数学模型

地面间距不等于天空投影基线

\begin{aligned}\mathbf B&=B(\cos\psi,0,\sin\psi)\\\mathbf s&=(\sin\zeta,\cos\zeta,0)\\g&=\mathbf B\cdot\mathbf s\\\mathbf b&=B(\cos\psi\cos\zeta,\sin\psi)\\B_\perp&=|\mathbf b|\end{aligned}

竖直方向向上，目标位于第一个水平轴与竖直轴的平面。天顶角从竖直量起，地面方位角从该水平轴量起。天空切基底为天顶角增大方向及另一个水平轴。延迟跟踪使用纵向分量，分辨信息使用横向分量；二者不能互换。

星盘是非相干叠加，不是一团相干光

\begin{aligned}V_{\mathrm{UD}}&=2J_1(x)/x\\x&=\pi B_\perp\theta_{\mathrm{UD}}/\lambda\\B_{\perp,0}&=1.21967\,\lambda/\theta_{\mathrm{UD}}\end{aligned}

角度控制是直径，不是半径。可见度是模，有符号实相干量在第二瓣为负。负号代表半个周期的条纹反相，不代表功率为负。Bessel 自变量的首个零点约为 3.831706。均匀星盘不等于临边昏暗的恒星大气。

两路互补探测功率构成原始记录

\begin{aligned}C&=V e^{4\pi i\Delta d/\lambda}\\P_\pm/P_{\mathrm{col}}&=\tfrac12[1\pm\operatorname{Re}(Ce^{-i\phi})]\\P_++P_-&=P_{\mathrm{col}}\end{aligned}

两输入臂各携带总收集功率的一半。理想无损合束器有两路输出光电探测器。功率保持线性并按总量归一化，不逐基线拉伸。跟踪延迟匹配目标中心；正镜面微调使 A 臂光程增加两倍位移。单色模型中微调只移动相位，不降低对比度；有限带宽时则不同。

先恢复相干量，再拟合角尺度

\begin{aligned}\phi_j&=2\pi j/64\\D_j&=(P_{+,j}-P_{-,j})/P_{\mathrm{col}}\\\widehat C&=\frac2{64}\sum_{j=0}^{63}D_j e^{i\phi_j}\\|\widehat V|^2&=|\widehat C|^2\end{aligned}

每条基线存储 64 对已标定相移采样。傅里叶系数由功率差取得。拟合函数只接受恢复的记录、已知波长与候选范围，不接受真实直径。固定方向上 81 条基线覆盖零到 200 米。零基线为理想标定，不表示实体望远镜重叠。对比度变化很小时，推断会对省略的噪声敏感；残差是数值拟合误差，不是观测不确定度。

双星沿投影方向调制可见度

\begin{aligned}q&=2\pi\mathbf b\cdot\boldsymbol s/\lambda\\V_{\mathrm{bin}}&=\frac{e^{iq/2}+r e^{-iq/2}}{1+r}\\|V_{\mathrm{bin}}|^2&=\frac{1+r^2+2r\cos q}{(1+r)^2}\end{aligned}

这里是两个互不相干的未分辨分量，不是有限星盘或轨道仿真。位置关于被跟踪的中点对称，已知亮度比可以不相等。使间距方向垂直于天空投影基线，会消去调制。伴星无光时，可见度平方无法确定间距；理想参考相位仍可包含主星偏移信息。此拟合只使用单方向的可见度平方，给出绝对投影间距，不给出有正负的天空向量。

一个拟合尺度不是重建的恒星照片

\widehat a=\operatorname*{arg\,min}_a\sum_m\left[|\widehat V_m|^2-|V(B_{\perp,m};a)|^2\right]^2

已知天空星盘和位置图仅作参考。绿色点由存储的探测功率恢复，灰模型拟合这些点。金色显示扣除已知镜面微调后的有符号实相干量。不从这一条方向的基线重建二维图像。镜面和探测面为真实几何；收集器尺寸、中继、镜架位移及标记速度刻意放大或示意。不宣称大气相位损失、临边昏暗、探测噪声或真实精度。

常见难点

条纹消失不等于星光消失

容易误解基线越长只会越暗；负可见度代表探测器接收负功率。

正确理解总收集功率固定。不同表面位置抵消的是干涉项，不是背景功率。越过首个零点，干涉项反号、对比度回升。互补探测功率始终非负，其和等于总收集功率。

动手实验

01
场景 1：单星直径
单星：改变直径与波长，比较原始相移功率、恢复的对比度与拟合直径。再倾斜目标，观察投影基线与地面间距的区别。
应该观察到： 金色与青色是伪彩色方向引导。入射引导线只代表目标中心方向，不把整个星盘当成单个相干发射体。移动点不是光子、真实波前间隔或采集时序。
02
场景 2：首个可见度零点
首个零点：扫描基线穿过零点进入第二瓣。微调镜面，确认相位移动但可见度不变。
应该观察到： 地面基线每米映射三世界单位。镜架中心按几何延迟每米 0.7、微调每微米 15 映射，均为示意显示。光学模型使用物理单位，不读取画出的臂长。
03
场景 3：双星间距
双星：分别旋转位置角和基线，令二者垂直，再让伴星亮度归零。比较消失的尺寸信息与可见的参考星对。
应该观察到： 窄带标量装置假定 0.25 米收集器角响应平坦并理想匹配模式。省略有限带宽延迟包络、噪声、大气、偏振、通量漂移、临边昏暗与图像重建。暂停、旋转与减弱动态不改变采集记录。