小黑洞绕自转黑洞的极端质量比旋近

绕上几十万圈的轨道，能读出大黑洞周围的什么？ 在大质量黑洞附近，轨道绕一圈回不到原处：最近点每绕一圈都会向前转，黑洞自转决定转多快。这些转动速率决定引力波的频率。小天体落入之前要绕几十万圈，累积起来的波相位有望测出黑洞的质量、自转和形状。

拖动小天体绕自转黑洞的轨道，看近心点进动、引力波谐波，以及到最内稳定轨道前还剩多少圈。

每个径向周期的近心点进动 $203^{\circ}$

最强引力波谐波 $4.59\,\mathrm{mHz}$

剩余波周数（圆轨道参考） $78\,600$

剩余时间（圆轨道参考） $0.559\,\mathrm{yr}$

调整轨道

黑洞自转

0.7

a/M

轨道大小（半通径）

7\,M

p

偏心率

0.4

e

质量比

1\times10^{-5}

q=\mu/M

拖动橙色或蓝色手柄，改变最近点或最远点。自转取负值表示轨道逆着自转方向运行。

黑洞质量与轨道常数

大黑洞质量

1\times10^{6}\,M_\odot

M

质量只按比例缩放所有频率和时间；以 $M$ 为单位的轨道不变。

$E/\mu=0.9446$

$L/(\mu M)=3.11$

$\Omega_\phi/\Omega_r=1.564$

$r_{\rm ISCO}=3.39\,M,\quad p_{\rm s}=3.9\,M$

$\mathcal F_{\rm kludge}/\mathcal F_{\rm PM}=0.834$

$r_0=7\,M$

能流比把这条轨道的四极近似能流，与具有相同 $p$ 、 $e$ 的牛顿椭圆 Peters–Mathews 能流相比；远离黑洞时比值趋于一。圆轨道旋近参考从 $r_0$ 出发。

模型假设

单位取引力常数、光速和大黑洞质量为一，坐标为 Boyer–Lindquist 坐标。轨道是精确的束缚赤道面 Kerr 测地线。自转带正负号：取负值表示轨道逆着黑洞自转方向运行。轨道常数按 Glampedakis 与 Kennefick（2002）计算，径向和方位周期由径向相位积分得到，并与直接哈密顿积分一致。引力波谱用四极近似拼接：把测地线放进平直空间，再套用平直空间四极公式，它不是 Teukolsky 波形。对圆轨道，它的能流在六个引力半径处是 Fujita–Tagoshi Teukolsky 表值的一半到一点二倍，十个引力半径以外相差不到百分之十五。剩余波周数和剩余时间来自另一条圆轨道绝热旋近：从半通径出发，用同一四极能流和精确圆轨道能量，停在最内稳定圆轨道外侧。这里省略视界吸收、高阶多极、偏心率衰减、轨道倾角、共振，以及绝热阶以外的全部自力修正。它是参考曲线，不是 LISA 波形模板。画布把半径和方位角画成平直极坐标。

这条轨道的谐波

模拟，四极近似

2\Omega_\phi+n\Omega_r

n\Omega_r

整数倍

到最内稳定轨道前的频率上升

圆轨道绝热参考

f_{\rm GW}=\Omega_\phi/\pi

这两张图怎样算出，可信到什么程度

左图：把轨道的质量四极矩放在平直空间里，分解到频率 $2\Omega_\phi+n\Omega_r$ 和 $n\Omega_r$ 上。灰线是径向频率的整数倍，也就是没有进动时谱线所在的位置。右图：从同一 $p$ 出发的圆轨道，按四极能流损失能量，一直到最内稳定轨道外侧。

四极近似的圆轨道能流，除以 Fujita 与 Tagoshi（2004）表中到达无穷远的 Teukolsky 能流（多极到六阶，不含视界能流）：

$r/M$	$a=-0.9$	$a=0$	$a=0.9$
$6$	$0.506$	$0.879$	$1.19$
$10$	$0.889$	$1.04$	$1.15$
$20$	$1.03$	$1.07$	$1.1$
$50$	$1.03$	$1.04$	$1.05$

靠近黑洞时，按它数出的波周数误差可达几十个百分点，远处要小得多。LISA 数据分析需要 Teukolsky 能流、偏心和倾斜轨道，以及一阶自力修正。

核心问题: 轨道和它发出的波，哪些特征取决于黑洞自转？
一句话直觉: 束缚赤道面测地线有两个频率： $\Omega_r$ 描述一进一出的径向运动， $\Omega_\phi$ 描述绕转。每条引力波谱线都落在两者的组合上，而自转同时改变这两个频率。

核心数学模型

圆轨道与最后一条稳定圆轨道

\Omega_\phi=\frac{1}{r^{3/2}+a},\qquad \Omega_r^2=\Omega_\phi^2\left(1-\frac{6}{r}+\frac{8a}{r^{3/2}}-\frac{3a^2}{r^2}\right)

单位取 G、c、M 为一。径向频率降到零的位置就是最内稳定圆轨道；顺着自转的轨道会让这个位置向内移。

两个频率决定全部谐波

\omega_{n}=2\Omega_\phi+n\,\Omega_r,\qquad \Delta\phi_{\rm peri}=2\pi\left(\frac{\Omega_\phi}{\Omega_r}-1\right)

转动的四极矩在这些频率上辐射。没有进动时两个频率相等，谱线正好落在径向频率的整数倍上。

能量损失推动缓慢旋近

\frac{dr}{dt}=-\frac{\mathcal F}{dE/dr},\qquad N_{\rm GW}=\int\frac{\Omega_\phi}{\pi}\,dt\propto\frac{1}{q}

能流与单位质量能量都由轨道决定，所以波周数与质量比成反比。这是绝热阶近似；一阶自力修正还会贡献约一弧度量级的相位，对测量来说仍不可忽略。

常见难点

这里的进动并不慢

容易误解近心点进动总是像水星那样的小修正。

正确理解靠近分界轨道时，每圈进动可以超过一整圈，形成急冲回旋轨道。对比“急冲与回旋”和“远处，接近开普勒”两个预设。

谱线不是轨道频率的整数倍

容易误解偏心轨道只在一个轨道频率的整数倍上辐射。

正确理解有进动时，谱线相对灰色整数倍刻度整体偏移，偏移量是两个频率之差的两倍。这个偏移本身就是对时空的测量。

波周数属于圆轨道参考

容易误解剩余波周数跟着屏幕上的偏心轨道走。

正确理解它是从同一半通径出发的圆轨道参考，用四极能流计算，没有计入偏心率衰减、视界吸收和自力修正。

动手实验

01
先看玫瑰线
保持默认设置，看橙色近心点一圈圈向前移。
你会看到： 每个径向周期结束时，近心点都更靠前；读数给出进动角度。
02
把自转反过来
保持默认轨道，把自转滑块从 0.7 拖到零，再继续往下拖。
你会看到： 每圈进动变大，粉色的最内稳定轨道圈向外移。自转一变成负值，这条轨道就不再稳定，画面改为显示最近的稳定轨道。
03
找到急冲回旋的边界
把橙色近心点手柄向内拖，直到出现提示。
你会看到： 靠近分界轨道时，小天体会在近心点附近多绕几圈，再冲回远处。
04
数一数剩余波周数
把质量比改变十倍。
你会看到： 剩余波周数和剩余时间同样变化十倍，轨道和谱线不变。

小黑洞绕自转黑洞的极端质量比旋近

这条轨道的谐波

到最内稳定轨道前的频率上升

从轨道读出它绕着的黑洞

核心数学模型

圆轨道与最后一条稳定圆轨道

两个频率决定全部谐波

能量损失推动缓慢旋近

常见难点

这里的进动并不慢

谱线不是轨道频率的整数倍

波周数属于圆轨道参考

动手实验

先看玫瑰线

把自转反过来

找到急冲回旋的边界

数一数剩余波周数

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