能量流失怎样决定最后稳定轨道前还剩多少圈

两只钟，差一个质量比

把小天体质量写成 $\mu=qM$。在不转黑洞的 $r=10$ 处，一圈要 $2\pi\,r^{3/2}\approx199\,M$。$M=10^6\,M_\odot$ 时 $M$ 相当于4.93秒，一圈约十六分钟。$q=10^{-5}$ 时，从这里落到 ISCO 约需1.4年。

两段时间之比与 $q$ 成正比。任何一圈里能量只变化 $q$ 量级的一小份，所以在这个精度上，每一圈都是测地线。这里说的“绝热”就是这个意思。

对应阅读：Barack & Pound (2019)

能量平衡

Barack 和 Pound 给出这一阶用到的平衡律：按一圈平均，轨道失去多少能量，就有多少能量辐射到无穷远或落进视界。圆轨道只需要能量这一条。按单位小天体质量写，

$E(r)$ 是圆轨道能量，$\mathcal F$ 是单位 $\mu$ 的能流。圆轨道的波以 $2\Omega_\phi$ 振荡，单位时间完成 $\Omega_\phi/\pi$ 个周期。除以径向速度，两者都化成对半径的积分。

对应阅读：Barack & Pound (2019)

牛顿极限下算一遍

取牛顿轨道：$E=1-1/(2r)$，$\Omega_\phi=r^{-3/2}$，圆轨道双星的四极能流 $\mathcal F=\tfrac{32}{5}\,q\,\Omega_\phi^{10/3}=\tfrac{32}{5}\,q\,r^{-5}$。于是 $dE/dr=1/(2r^2)$，积分可以手算。

$q=10^{-5}$，从 $r=10$ 到 $r=6$，得到 $t=1.70\times10^{7}\,M$，$N=226\,842$ 圈。

换成相对论能量，圈数减半

能流仍用四极公式，但 $E(r)$ 和 $\Omega_\phi$ 改用 Kerr 精确值。斜率 $dE/dr$ 比牛顿的小：$r=10$ 处是 $0.00341$，牛顿值是 $0.005$；到 ISCO 处降到零，轨道在那里再也不能一点一点地放掉能量。

每单位半径要放的能量少了，下落就快了。从 $r=10$ 到 ISCO 外侧，圈数降到 $N=112\,045$，时间降到 $8.96\times10^{6}\,M$，$M=10^6\,M_\odot$ 时约1.40年。两个积分都按 $1/q$ 变化，所以下表只需算一次。

四极能流有多准

Fujita 和 Tagoshi 对圆赤道轨道求解 Teukolsky 方程，把到 $\ell=6$ 为止的光度列成表。他们的表VII可以直接检验我们的能流。远处，这张表、Tagoshi 与 Sasaki 的四阶后牛顿级数和四极公式符合预期：$r=100$、零自转时前两者五位有效数字一致，四极公式偏高2.6%。

靠近黑洞时，四极公式差几十个百分点，偏高还是偏低取决于自转和半径。下表是我们的能流与已发表值之比。

零自转时，误差在 $r=6$ 与 $r=10$ 之间变号，大部分相互抵消：用表中能流，从 $r=10$ 到 ISCO 是112,981圈，只比我们的112,045多0.8%。自转0.9时，四极能流在这段范围里处处偏大，从 $r=10$ 到 $r=6$ 少算了15%的圈数。本系列的教程会用这张表亲手复算这些数。

对应阅读：Fujita & Tagoshi (2004) · Tagoshi & Sasaki (1994)

这一阶没算进去的

视界项。自转黑洞会吸收能量；当轨道转得比视界还快，$\Omega_\phi>\Omega_H=a/(2r_+)$，它反而会把一部分转动能交给轨道。Fujita–Tagoshi 的表和我们的实验室都没有这一项。

相位的下一阶。Barack 和 Pound 把轨道相位写成 $\varphi=\eta^{-1}\bigl[\varphi^{(0)}+\eta\,\varphi^{(1)}+O(\eta^2)\bigr]$，$\eta$ 是质量比。绝热项 $\varphi^{(0)}$ 只需要一阶自力中按轨道平均的耗散部分，能量平衡给的正是这一部分。下一项约一弧度，需要完整的一阶自力，再加二阶自力的一部分。几十万圈的匹配滤波，一个弧度不能不管。

对应阅读：Barack & Pound (2019) · Brito